Оценивание
параметров процесса контролируемого процесса в предположении нормальности
закона распределения
1. Оценивание параметров
производственного процесса в пусковой период
2. Оценка уровня настройки
процесса
Общее выборочное среднее
Среднее значение выборочных медиан
Медиана средних выборочных значений
3. Оценка технологического
рассеяния
Общее выборочное стандартное отклонение с поправкой
Среднее значение выборочных стандартных отклонений с поправкой
Корень квадратный из средней выборочной дисперсии с поправкой
Среднее значение размахов выборок с поправкой
Медиана размахов выборок с поправкой
Таблица 1. Коэффициенты для вычисления несмещенных оценок параметров и их дисперсий
См. также: Прикладная
математическая статистика (материалы к семинарам)
1. Оценивание параметров производственного процесса в пусковой
период
Во время пускового периода из текущего производства
для контролируемого показателя 
извлекаются выборки 
; 
.
Среднее значение, медиана, дисперсия, стандартное
отклонение и размах 
-й выборки
() определяются соотношениями:
,
(1)
(2)
,
(3)
,
(4)
,
(5)
где
- 
-й элемент вариационного
ряда (упорядоченной -й
выборки), построенного по -й выборке.
Среднее значение выборочных средних, среднее значение выборочных медиан, среднее значение выборочных дисперсий, среднее значение выборочных стандартных отклонений и среднее значение выборочных размахов выборок:
,
(6)
,
(7)
,
(8)
,
(9)
,
(10)
Медиана выборочных средних, выборочных медиан, и выборочных размахов:
(11)
(12)
(13)
где
- -й элемент в возрастающей
последовательности 
выборочных средних 
(в вариационном ряду). Аналогично
определяются 
и 
.
Оценки по всем выборкам определяем как общее выборочное среднее значение, общая выборочная дисперсия, общее выборочное стандартное отклонение:
,
(14)
,
(15)
.
(16)
Через общую сумму квадратов отклонений
(17)
общая выборочная дисперсия имеет вид
.
(18)
2. Оценка уровня настройки процесса
Если уровень настройки процесса 
заранее неизвестен, то можно определить его
оценку, опираясь на данные, полученные в фазе пуска процесса. Для этого можно воспользоваться различными оценками для . Рассматриваемые оценки являются
несмещенными и, по крайней мере, асимптотически нормально распределенными. Они имеют разные дисперсии, то есть отличаются по
эффективности.
Общее выборочное среднее 
имеет в качестве математического ожидания и дисперсию
,
(19)
где
– дисперсия процесса. Оценка подчиняется
нормальному закону, если нормальному закону подчиняются 
.
Медиана выборочных медиан. Медианы
отдельных выборок 
при нормально
распределенных распределены с математическим ожиданием и дисперсией
.
(20)
Медиана 
выборочных медиан приблизительно нормально
распределена с математическим ожиданием и дисперсией
.
(21)
Значения всех коэффициентов, встречающихся в соотношениях табулированы (таблица 1).
Среднее значение выборочных медиан 
имеет почти нормальное распределение с
математическим ожиданием и дисперсией
.
(22)
Медиана средних выборочных значений 
распределена почти нормально с математическим
ожиданием и дисперсией
.
(23)
При
, 
при 
и 
, поэтому
< 
< 
< 
.
Наибольшей эффективностью из
рассмотренных оценок обладает общее среднее , наибольшей устойчивостью – .
3. Оценка технологического рассеяния
Технологическое рассеяние 
подлежит оцениванию по результатам исследования
пускового периода производственного процесса, если оно не известно заранее. Для
этого можно воспользоваться различными оценками для . Рассматриваемые оценки
являются несмещенными (с использованием поправок). Оценки различаются
дисперсиями, то есть отличаются по эффективности.
Общее выборочное стандартное отклонение с поправкой.
Оценка (18) 
является несмещенной оценкой для . Однако не является несмещенной
оценкой для стандартного отклонения . Несмещенной оценкой для стандартного отклонения является оценка
,
(24)
(
– табулировано) с дисперсией
,
(25)
Среднее значение выборочных стандартных отклонений с
поправкой. Все стандартных отклонений, вычисляемые по
соотношению (4) при
нормально распределенных имеют математическое ожидание 
и дисперсию
, .
(26)
Исправленное среднее значение выборочных стандартных отклонений дает несмещенную оценку
,
(27)
с дисперсией
.
(28)
Корень квадратный из средней выборочной дисперсии с поправкой. Оценка
(29)
имеет дисперсию
.
(30)
Среднее значение размахов выборок с поправкой. Все размахов 
в отдельных выборках при
нормально распределенных имеют математическое ожидание 
и дисперсию
, .
(31)
Несмещенная оценка стандартного отклонения
(32)
имеет дисперсию
.
(33)
Медиана размахов выборок с поправкой. Вместо 
в качестве оценки можно
использовать медиану размахов выборки с поправкой
,
(34)
которая имеет дисперсию
.
(35)
Все использованные выше коэффициенты табулированы (таблица 1).
Для
дисперсий данных оценок при 
справедливо неравенство:
< 
< 
< 
< 
.
Таблица 1. Коэффициенты для вычисления несмещенных оценок параметров и их дисперсий
|
n |
cn |
an |
bn |
bn / an |
dn |
en |
en / dn |
|
|
|
2 |
1.000 |
0.798 |
0.603 |
0.756 |
1.128 |
0.853 |
0.756 |
0.954 |
0.450 |
|
3 |
1.160 |
0.886 |
0.463 |
0.523 |
1.693 |
0.888 |
0.525 |
1.588 |
0.435 |
|
4 |
1.092 |
0.921 |
0.389 |
0.422 |
2.059 |
0.880 |
0.427 |
1.978 |
0.445 |
|
5 |
1.198 |
0.940 |
0.341 |
0.363 |
2.326 |
0.864 |
0.371 |
2.257 |
0.457 |
|
6 |
1.136 |
0.952 |
0.308 |
0.324 |
2.534 |
0.848 |
0.335 |
2.472 |
0.468 |
|
7 |
1.214 |
0.959 |
0.282 |
0.294 |
2.704 |
0.833 |
0.308 |
2.645 |
0.447 |
|
8 |
1.159 |
0.965 |
0.262 |
0.272 |
2.847 |
0.820 |
0.288 |
2.791 |
0.487 |
|
9 |
1.223 |
0.969 |
0.246 |
0.254 |
2.970 |
0.808 |
0.272 |
2.915 |
0.495 |
|
10 |
1.175 |
0.973 |
0.232 |
0.238 |
3.078 |
0.797 |
0.259 |
3.024 |
0.503 |
|
11 |
1.229 |
0.975 |
0.221 |
0.227 |
3.173 |
0.787 |
0.248 |
3.121 |
0.509 |
|
12 |
1.190 |
0.978 |
0.211 |
0.216 |
3.258 |
0.778 |
0.239 |
3.207 |
0.515 |
|
13 |
1.233 |
0.979 |
0.202 |
0.206 |
3.336 |
0.770 |
0.231 |
3.285 |
0.521 |
|
14 |
1.195 |
0.981 |
0.194 |
0.198 |
3.407 |
0.762 |
0.224 |
3.356 |
0.527 |
|
15 |
1.237 |
0.982 |
0.187 |
0.190 |
3.472 |
0.755 |
0.217 |
3.422 |
0.532 |
|
16 |
1.202 |
0.983 |
0.181 |
0.184 |
3.532 |
0.749 |
0.212 |
3.482 |
|
|
17 |
1.238 |
0.985 |
0.175 |
0.178 |
3.588 |
0.743 |
0.207 |
3.538 |
|
|
18 |
1.207 |
0.985 |
0.170 |
0.173 |
3.640 |
0.738 |
0.203 |
3.591 |
|
|
19 |
1.239 |
0.986 |
0.165 |
0.167 |
3.689 |
0.733 |
0.199 |
3.640 |
|
|
20 |
1.212 |
0.987 |
0.161 |
0.163 |
3.735 |
0.729 |
0.195 |
3.686 |
|
|
¥ |
1.253 |
1 |
0 |
0 |
- |
- |
- |
- |
|
