Таблица для построения L-оценок

Построение оптимальных L-оценок параметров сдвига и масштаба по выборочным асимптотически оптимальным квантилям

L-оценки параметров сдвига m и масштаба s используются в тех случаях, когда закон распределения полностью определяется только этими параметрами с функцией распределения F[(x-m)/s] и функцией плотности f[(x-m)/s]/s.

L-оценки параметров распределений, формируемые как линейные комбинации порядковых статистик или выборочных квантилей, обладают двумя важными для широкого практического применения качествами: чрезвычайной простотой вычислений и очень хорошими свойствами робастности. Самой сложной операцией при вычислении таких оценок является сортировка имеющейся выборки по возрастанию (формирование вариационного ряда) с целью определения выборочных квантилей наблюдаемого закона. Значения выборочных квантилей x_(i) находятся при разбиении области определения случайной величины (размаха выборки) на интервалы, величины которых пропорциональны вероятностям P_i попадания в интервал при асимптотически оптимальном группировании: число попаданий в интервал выбирается равным nP_i, где n - объем выборки. Подробнее о формировании оценок смотри в работе, представленной в архиве (z_l_q.rar, 183 kb, Word 97) и содержащей ссылки на первоисточники.

Оценивание неизвестного m при известном s осуществляется по формуле

m = a₀s+ a₁x₍₁₎+ a₂x₍₂₎ + ... + a_k-1x_(k-1) .

Оценивание неизвестного s при известном m осуществляется по формуле

s = b₀m+ b₁x₍₁₎+ b₂x₍₂₎ + ... + b_k-1x_(k-1) .

При оценивании сразу двух параметров используются соотношения:

m = g₁x₍₁₎+ g₂x₍₂₎ + ... + g_k-1x_(k-1),

s = n₁x₍₁₎+ n₂x₍₂₎ + ... + n_k-1x_(k-1),

Значения x_(i), фигурирующие в формулах (1), (2), (3) и (4), следует выбирать из условия

где X_(l) - члены вариационного ряда

построенного по исходной выборке, вероятность попадания наблюдения левее вычисляемой квантили -

[.] - означает целую часть числа, а P_j - выбираются из соответствующей строки таблицы оптимальных вероятностей приложения А. Например, это могут быть средние значения между соответствующими соседними членами вариационного ряда.

Значения коэффициентов для формул (1), (2), (3) и (4), соответствующие конкретным законам распределений, выбираются из таблиц приложения П.

Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы коэффициентов a_i, b_i, g_i, n_i содержатся в нижеприведенной таблице.

(Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы с коэффициентами для вычисления L-оценок)

Распределение	Оцениваемый параметр	№ формулы	Таблица вероятностей	Таблица коэффициентов
Нормальное	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.25 А.27 А.29 А.29	П.1 П.2 П.3 П.4
Логарифмически нормальное (ln)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.25 А.27 А.29 А.29	П.1 П.2 П.3 П.4
Логарифмически нормальное (lg)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.25 А.27 А.29 А.29	П.1 П.2 П.3 П.4
Логистическое	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	Равновероятные А.43 А.45 А.45	П.5 П.6 П.7 П.8
Коши	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.39 А.37 Равновероятные Равновероятные	П.9 П.10 П.11 П.12
Минимального значения	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.2 А.21 А.23 А.23	П.13 П.14 П.15 П.16
Максимального значения	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.31 А.33 А.35 А.35	П.17 П.18 П.19 П.20
Экспоненциальное (показательное)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.2 А.2 А.2 А.2	П.21 П.22 П.23 П.24
Модуля многомерного нормального вектора (m=1, полунормальное)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.7 А.7 А.7 А.7	П.25 П.26 П.27 П.28
Модуля многомерного нормального вектора (m=2, Рэлея)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.2 А.2 А.2 А.2	П.29 П.30 П.31 П.32
Модуля многомерного нормального вектора (m=3, Максвелла)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.5 А.5 А.5 А.5	П.33 П.34 П.35 П.36
Модуля многомерного нормального вектора (m=4)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.9 А.9 А.9 А.9	П.37 П.38 П.39 П.40
Модуля многомерного нормального вектора (m=5)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.11 А.11 А.11 А.11	П.41 П.42 П.43 П.44
Модуля многомерного нормального вектора (m=6)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.135 А.13 А.13 А.13	П.45 П.46 П.47 П.48
Модуля многомерного нормального вектора (m=7)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.15 А.15 А.15 А.15	П.49 П.50 П.51 П.52
Модуля многомерного нормального вектора (m=8)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.17 А.17 А.17 А.17	П.53 П.54 П.55 П.56
Модуля многомерного нормального вектора (m=9)	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.19 А.19 А.19 А.19	П.57 П.58 П.59 П.60
Лапласа	m (известно s ) s (известно m ) m s	1 2 3 4	А.48 А.48 А.48 А.48	П.61 П.62 П.63 П.64