Построение оптимальных L-оценок параметров сдвига и масштаба по выборочным асимптотически оптимальным квантилям

L-оценки параметров сдвига m и масштаба s используются в тех случаях, когда закон распределения полностью определяется только этими параметрами с функцией распределения F[(x-m)/s] и функцией плотности f[(x-m)/s]/s.

L-оценки параметров распределений, формируемые как линейные комбинации порядковых статистик или выборочных квантилей, обладают двумя важными для широкого практического применения качествами: чрезвычайной простотой вычислений и очень хорошими свойствами робастности. Самой сложной операцией при вычислении таких оценок является сортировка имеющейся выборки по возрастанию (формирование вариационного ряда) с целью определения выборочных квантилей наблюдаемого закона. Значения выборочных квантилей x(i) находятся при разбиении области определения случайной величины (размаха выборки) на интервалы, величины которых пропорциональны вероятностям Pi попадания в интервал при асимптотически оптимальном группировании: число попаданий в интервал выбирается равным nPi, где n - объем выборки. Подробнее о формировании оценок смотри в работе, представленной в архиве (z_l_q.rar, 183 kb, Word 97) и содержащей ссылки на первоисточники.

Оценивание неизвестного m при известном s осуществляется по формуле

  1. m = a0s + a1x(1) + a2x(2) + ... + ak-1x(k-1) .
  2. Оценивание неизвестного s при известном m осуществляется по формуле

  3. s = b0m + b1x(1) + b2x(2) + ... + bk-1x(k-1) .
  4. При оценивании сразу двух параметров используются соотношения:

  5. m = g1x(1) + g2x(2) + ... + gk-1x(k-1),
  6. s = n1x(1) + n2x(2) + ... + nk-1x(k-1),
Значения x(i), фигурирующие в формулах (1), (2), (3) и (4), следует выбирать из условия

где X(l) - члены вариационного ряда

построенного по исходной выборке, вероятность попадания наблюдения левее вычисляемой квантили -

[.] - означает целую часть числа, а Pj - выбираются из соответствующей строки таблицы оптимальных вероятностей приложения А. Например, это могут быть средние значения между соответствующими соседними членами вариационного ряда.

Значения коэффициентов для формул (1), (2), (3) и (4), соответствующие конкретным законам распределений, выбираются из таблиц приложения П.

Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы коэффициентов ai, bi, gi, ni содержатся в нижеприведенной таблице.

(Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы с коэффициентами для вычисления L-оценок)

Распределение

Оцениваемый параметр

№ формулы

Таблица вероятностей

Таблица коэффициентов

Нормальное

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.25
  • А.27
  • А.29
  • А.29
  • П.1
  • П.2
  • П.3
  • П.4
  • Логарифмически нормальное (ln)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.25
  • А.27
  • А.29
  • А.29
  • П.1
  • П.2
  • П.3
  • П.4
  • Логарифмически нормальное (lg)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.25
  • А.27
  • А.29
  • А.29
  • П.1
  • П.2
  • П.3
  • П.4
  • Логистическое

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • Равновероятные
  • А.43
  • А.45
  • А.45
  • П.5
  • П.6
  • П.7
  • П.8
  • Коши

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.39
  • А.37
  • Равновероятные
  • Равновероятные
  • П.9
  • П.10
  • П.11
  • П.12
  • Минимального значения

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.2
  • А.21
  • А.23
  • А.23
  • П.13
  • П.14
  • П.15
  • П.16
  • Максимального значения

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.31
  • А.33
  • А.35
  • А.35
  • П.17
  • П.18
  • П.19
  • П.20
  • Экспоненциальное (показательное)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.2
  • А.2
  • А.2
  • А.2
  • П.21
  • П.22
  • П.23
  • П.24
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=1, полунормальное)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.7
  • А.7
  • А.7
  • А.7
  • П.25
  • П.26
  • П.27
  • П.28
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=2, Рэлея)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.2
  • А.2
  • А.2
  • А.2
  • П.29
  • П.30
  • П.31
  • П.32
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=3, Максвелла)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.5
  • А.5
  • А.5
  • А.5
  • П.33
  • П.34
  • П.35
  • П.36
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=4)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.9
  • А.9
  • А.9
  • А.9
  • П.37
  • П.38
  • П.39
  • П.40
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=5)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.11
  • А.11
  • А.11
  • А.11
  • П.41
  • П.42
  • П.43
  • П.44
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=6)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.135
  • А.13
  • А.13
  • А.13
  • П.45
  • П.46
  • П.47
  • П.48
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=7)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.15
  • А.15
  • А.15
  • А.15
  • П.49
  • П.50
  • П.51
  • П.52
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=8)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.17
  • А.17
  • А.17
  • А.17
  • П.53
  • П.54
  • П.55
  • П.56
  • Модуля многомерного нормального вектора (m=9)

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.19
  • А.19
  • А.19
  • А.19
  • П.57
  • П.58
  • П.59
  • П.60
  • Лапласа

  • m (известно s )
  • s (известно m )
  • m
  • s
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • А.48
  • А.48
  • А.48
  • А.48
  • П.61
  • П.62
  • П.63
  • П.64
  •