При
проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого
закона распределения вероятностей, непараметрические критерии согласия
Колмогорова, Смирнова, w2 и W2 Мизеса теряют
свойство “свободы от распределения”. В этом случае предельные распределения
статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена
наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик непараметрических
критериев согласия зависят и от используемого метода оценивания параметров.
Следует также учитывать, что распределения статистик существенно зависят от
объема выборки.
Игнорирование того, что проверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных
гипотезах приводят к некорректному применению непараметрических критериев
согласия в приложениях и как следствие к неверным статистическим выводам.
Различия в предельных распределениях тех же самых статистик при проверке
простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим
абсолютно недопустимо [5]-[7].
Точкой отсчета, с
которой были начаты исследования предельных распределений статистик
непараметрических критериев согласия при сложных гипотезах, послужила работа [8].
Существует ряд подходов
к использованию непараметрических критериев согласия в этом случае.
При достаточно большой выборке ее можно разбить на две части и по одной из них
оценивать параметры, а по другой проверять согласие. В случае больших объемов
выборки такой подход оправдан [9]. Но если
объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две части будет
отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистик критериев
согласия.
Для случая принадлежности выборки нормальному закону предельные распределения
статистики критерия w2 Мизеса при
использовании оценок максимального правдоподобия для оценивания одного или
обоих параметров закона были исследованы в [10]
аналитическими методами.
В некоторых частных случаях проверки сложных гипотез, например при оценивании
параметров распределений экспоненциального, нормального, экстремальных
значений, Вейбулла и некоторых других законов, таблицы процентных точек для
предельных распределений статистик непараметрических критериев были получены с
использованием методов статистического моделирования [11]-[14].
В [15]-[19] для статистик типа
Колмогорова-Смирнова и некоторых законов, соответствующих гипотезе H0, получены формулы для приближенного
вычисления вероятностей “согласия” вида P{S>S*}, где S* - вычисленное по
выборке значение соответствующей статистики S.
Полученные формулы дают достаточно хорошие приближения при малых значениях
соответствующих вероятностей.
В [20]-[21] в результате компьютерного
моделирования распределений статистик непараметрических критериев для ряда
законов, соответствующих гипотезе H0, найдены аналитически
простые модели, которые хорошо аппроксимируют предельные распределения
статистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложных
гипотез и оценивания по выборке параметров методом максимального
правдоподобия. В [22]-[23] методами статистического
моделирования исследовано влияние на распределения статистик непараметрических
критериев согласия при простых и сложных гипотезах объема наблюдаемой выборки и
применяемого метода оценивания параметров. В [24]
получены аналитически простые модели предельных распределений статистик
непараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотез
оценки параметров находятся в результате минимизации статистики используемого
критерия.
Построенные на настоящий
момент таблицы процентных точек и предельные распределения статистик
непараметрических критериев ограничены относительно узким кругом сложных
гипотез. Предельные распределения статистик (или процентные точки
распределений) при проверке сложных гипотез получены лишь для порядка 15
законов, в то время как множество вероятностных моделей, используемых в
приложениях для описания реальных случайных величин, существенно шире.
[Предыдущая][Содержание][Следующая]