2.3.5 Влияние объема выборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

Способность различать близкие гипотезы зависит от того, насколько сильно различаются распределения G(S_n|H₀)  и G(S_n|H₁).

Предложены к рассмотрению две близкие гипотезы: H₀ - нормальное распределение с плотностью  и параметрами m=0, s=1; H₁ - логистическое с такими же параметрами m=0, s=1 и плотностью . О близости этих законов распределения можно судить по рисунку 4, на котором представлены их функции распределения. Рисунок 5 иллюстрирует зависимость от n распределений G(S_n|H₁) статистики S_K Колмогорова при проверке простой (n = 20, 100, 500, 1000), а рисунок 6 – при проверке сложной гипотезы H₀ (при использовании ОМП).

Рисунок 4 – Функции распределения нормального и логистического законов

Рисунок 5 – Зависимость от n распределений G(S_n|H₁) статистики S_K Колмогорова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое): n= 20, 100, 500, 1000

Рисунок 6 – Зависимость от n распределений G(S_n|H₁) статистики S_K Колмогорова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое, ОМП): n= 20, 100, 500, 1000

На рисунках 7-8 для сравнения представлены распределения G(S_n|H₁) статистики S_w при проверке простой (рисунок 7) и сложной гипотезы (рисунок 8) для тех же самых альтернатив H₀ и H₁. Для данной пары альтернатив в случае проверки сложной гипотезы критерий согласия типа w² Крамера-Мизеса-Смирнова обладает несколько большей мощностью при различении близких гипотез, чем критерий типа Колмогорова, а в случае простых – наоборот.

С точки зрения практического использования критериев важны два момента, которые подтверждены результатами исследований и хорошо иллюстрированы рисунками 5-8. Во-первых, очевидно, что при малых выборках пытаться различать с помощью непараметрических критериев согласия близкие гипотезы (особенно простые) абсолютно бесполезно. Во-вторых, мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок n всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке простых гипотез неaпараметрические критерии типа Колмогорова, Смирнова, w² и W² Мизеса уступают по мощности критериям типа c², особенно, если в последних используется асимптотически оптимальное группирование [31]-[34]. Но при проверке сложных гипотез непараметрические критерии оказываются более мощными. Для того чтобы воспользоваться их преимуществами, надо только знать распределение G(S|H₀) при проверяемой сложной гипотезе.

Рисунок 7 – Зависимость от n распределений G(S_n|H₁) статистики S_w Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое):  n = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 8 – Зависимость от n распределений G(S_n|H₁) статистики S_w Крамера-Мизеса-Смирнова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₀ - логистическое, ОМП): n = 20, 100, 500, 1000

[Предыдущая][Содержание][Следующая]