См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова А.А. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. I. Параметрические критерии //Измерительная техника. 2010. № 3. – С.10-16.

Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова А.А. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. II. Непараметрические критерии// Измерительная техника. 2010. № 5. – С.11-18.

 

Измерительная техника. 2004. − № 10. − с. 10-15

519.233.3: 006.91.001

Критерии Бартлетта и Кокрена в измерительных задачах при вероятностных законах, отличающихся от нормального

 

Б.Ю. Лемешко, Е.П. Миркин

Методами статистического моделирования исследованы распре­деле­ния класси­ческих статистик, используемых при проверке гипотез о дисперсиях в серии выборок. Для статистик, используемых в критериях Бартлетта и Кокрена, по­лу­чены таблицы процентных точек, применение которых правомерно при на­блю­дае­мых законах, описываемых экспонен­циальным семейством распределений.

 

Ключевые слова: проверка гипотез, математическое ожидание, диспер­сия, процент­ные точки, критерий Бартлетта, критерий Кокрена

 

The classical statistic distributions building on samples series used in testing hypotheses on variances have been investigated by means of statisti­cal modeling methods. The tables of percentage points of Bartlett’s and Cochran’s statistics, which can be used for correct testing hypotheses when observed laws are described with the expo­nential distri­bution family, have been obtained.

 

Key words: testing hypotheses, mathematical expectation, variance, percentage points, Bartlett’s test, Cochran’s test

 

Введение

При статистическом контроле качества для проверки наличия возмуще­ния в ходе процесса, как правило, используется ряд статистических критериев, с помощью которых проверяются гипотезы о постоянстве дисперсий контроли­руемого показателя или о равен­стве этого показателя номинальному значению. Аналогичные задачи проверки гипотез воз­никают в измерительных задачах. В лите­ратурных источниках [1, 2] и стандартах [3] в этих целях рассматривается применение крите­риев Барт­летта [4] и Кокрена [5]. Данные крите­рии применя­ются для про­верки гипотез о равенстве дисперсий совокупности выборок. В [3] применение критерия Кокрена предусматривается для выде­ления выбросов при анализе физико-химических измерений.

Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии  выборок имеет вид:

.                                                           (1)

а конкурирующая с ней гипотеза –

,                                                                           (2)

где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов  , .           

Например, в задаче контроля некоторого показателя гипотеза  может ут­верждать, что, по крайней мере, для двух моментов взятия выборок из об­щего числа моментов времени m (m выборок, взятых в разные моменты вре­мени) дисперсия имеет разные значения.

В качестве основного предположения при построении критериев Барт­летта и Кокрена и выводе предельных распределений статистик этих критериев выдвигалась принадлежность наблюдаемых случайных величин (погрешностей измерений) нормальному закону распределения.

Известно, что погрешности измерительных приборов далеко не всегда описы­ваются нор­мальным законом распределения [6]. Очевидно и то, что в за­дачах контроля качества регист­рируемые отклонения контролируемого показа­теля технологического процесса от номиналь­ного (заданного) значения при ус­ловии стационарности процесса не всегда подчиняются нормальному закону. При этом сам процесс может удовлетворять выдвигаемым требо­ваниям, напри­мер, математическое ожидание – совпадать с номинальным значением показа­теля технологического процесса, а дисперсия – не превышать заданной вели­чины.

Как поведут себя рассматриваемые критерии при нарушении предполо­жений о нор­мальности погрешностей измерений? Возможно ли в изменив­шейся ситуации применение дан­ных критериев в их классическом виде или та­кие дей­ствия приведут к некорректности ре­зультатов?

Цель данной работы состояла в исследовании распределений статистик выше­упомянутых критериев при различной степени отклонения распреде­ления наблюдаемых слу­чайных величин (погрешностей измерений) от нормального закона и в выработке рекомендаций по применению данных критериев в таких условиях. Пред­став­ленные результаты дополняют исследования [7] о по­веде­нии статистик крите­риев, используемых для проверки гипотез о дисперсиях и математи­ческих ожи­даниях. Как и в работе [7], в основе данных исследований лежала развиваемая мето­дика статистического моделирова­ния и компьютер­ного анализа, хорошо заре­комендовавшая себя при исследовании статистиче­ских закономерно­стей в [8, 9].

Критерий Бартлетта

Статистика критерия Бартлетта вычисляется в соответствии с соотноше­нием [2]:

                                               (3)

где  – объемы выборок, , если математическое ожидание известно, и  , если неизвестно, ,

,

 – оценки выборочных дисперсий. При неизвестном математическом ожида­нии оценки , где  и .  Если гипотеза  верна, все  и вы­борки извлекаются из нормальной генераль­ной совокуп­ности, то статистика (3) при­ближенно подчиняется -распределе­нию.

При нормально распределенных результатах измерений распреде­ле­ние статистики (3) практически не зависит от изменения объема вы­борки. Напри­мер, на рис. 1 приведены практически совпадающие функции рас­пределения статистики критерия Барт­летта (3) при различных объемах выборок (). Это означает, что в случае принадлежности результатов измере­ний нормальному закону выводы остаются корректными и при очень малых объемах анализируемых вы­борок.

В то же время, распределения статистики (3) очень чувствительны к от­кло­нениям на­блюдаемого закона от нормального. Вид распределения стати­стики (3) исследовался при раз­личных наблюдаемых законах, в частности, в слу­чае принадлежности моделируемых выбо­рок законам логистическому с плотностью

,

Лапласа с плотностью

,

экспоненциальному семейству распределений с различными параметрами формы с плотно­стью

,                             (4)

где  – параметр формы. Законы нормальный и Лапласа являются частными слу­чаями дан­ного семейства распределений при значениях параметра формы 2 и 1 соответственно. Се­мейство (4) может быть хорошей моделью для законов распределения погрешностей различных измерительных систем.

Рис. 1. Функции распределения статистики классического критерия Бартлетта при различных объемах выборок при

 

Рис. 2 отражает зависимость распределений статистики (3) от вида наблю­даемого за­кона при различных объемах выборок. Видно, что при откло­нении закона распределения на­блюдаемого показателя от нормального закона распре­деление статистики критерия Барт­летта (3) существенно отличается от -рас­пределения. При этом распределения стати­стики становятся более зави­си­мыми от объема выборки, чем в случае нормального закона.

Следовательно, если опираться на классическое предельное -рас­пределе­ние в слу­чае принадлежности наблюдаемой величины распределе­нию Лапласа или логистическому, то даже при справедливости проверяемой гипо­тезы  о равенстве дисперсий она с боль­шой вероятностью будет откло­няться. На рис. 3 показано, как меняется распределение стати­стики Бартлетта, если результаты измерений подчиняются экспоненциальному семей­ству рас­пределений с различными значениями параметра формы. Вид функций распре­деления статистики Бартлетта на рис. 3 показывает, что в случаях, когда ре­зультаты измерений принадлежат распределению экспоненциаль­ного се­мей­ства, более плос­ковершинному по сравнению с нормальным, то, если мы вос­пользуемся классическим пре­дельным распределением, неверная проверя­емая гипотеза  может приниматься с большой вероятностью.

Рис. 2. Функции распределения статистики Бартлетта при отклонении закона распределения наблюдаемого показателя от нормального при различных объемах выборки и

 

Представленная на рис. 3 картина хорошо иллюстрирует рассуждения [10], изложенные в [11], по поводу применения классического критерия Бартлетта [4] в случае нарушения предположений о нормальности. При законах распреде­ления наблюдаемых величин, более плосковершинных по сравнению с нор­мальным (с отрицательными значениями коэффициента эксцесса , где – четвертый центральный момент, – дис­персия закона) клас­сический критерий Бартлетта [4] затушевывает разницу в дисперсиях, а в случае более островершинных (при ) – находит разли­чие в дисперсиях, ко­гда та­кого различия нет. Подчеркнем, что ниже аналогич­ную картину для критерия Кокрена отра­жает рис. 6.

Рис. 3. Функции распределения статистики критерия Бартлетта в случае распределений экспоненциального семейства  с различными значениями параметра формы при  и

 

При законах распределения наблюдений, отличающихся от нормального, распреде­ле­ния статистики Бартлетта существенно зависят от объема выборки , однако достаточно хо­рошо сходятся к некоторым предельным законам.

В случае принадлежности наблюдаемых величин распределениям экспо­ненциального семейства на основании результатов стати­стического моделиро­вания нами построены таб­лицы верхних процент­ных точек (1%, 5%, 10%) ста­тистики Бартлетта для значений пара­метра формы =0.5, 1, 3, 5, 10  при различ­ных m и ряда значений n. Процентные точки строи­лись по смоделиро­ванным эмпирическим распределениям статистик объемом в 50000 с усредне­нием по ряду экспериментов. В случае распределения Лапласа (=1) получен­ные про­центные точки представлены в приложении 1.

Критерий Кокрена

В том случае, когда все  одинаковы, ,  возможно ис­поль­зование более простого критерия Кокрена. Статистика Q критерия Кок­рена выражается формулой [2]

,                                                      (5)

где , где m – число независимых оценок дисперсий (число выборок).

Распределения статистики Кокрена сильно зависят от объема наблюдае­мых выборок. Поэтому в справочной литературе приводятся только таблицы процентных точек [2], кото­рые и используются при проверке гипотез. На рис. 4 приведены полученные в результате ком­пьютерного моделирования функции распределения статистики (5) при различных объе­мах выборок. В данном слу­чае число оценок дисперсий m=5.

 

Рис. 4. Функции распределения статистики критерия Кокрена при различных объемах выборок при

 

Как и критерий Бартлетта, критерий Кокрена используется в предполо­жении, что результаты измерений принадлежат нормальному за­кону. Поэтому, представляет интерес, насколько сильно меняется распределе­ние статистики Кокрена (5) в случае определен­ных отклонений закона распреде­ления результа­тов измерений (кон­тролируемого показа­теля) от нормального. На рис. 5 пред­ставлен вид функции распределе­ния стати­стики (5), когда при справедливости проверяемой гипотезы  о равенстве дис­пер­сий выборки данных принад­лежат различным законам: нормаль­ному, логистиче­скому и Лапласа. Различие в законах распределения статистики (5) сохраняет характер при лю­бых объемах выборок.

Рис. 5. Функции распределения статистики критерия Кокрена при отклонении закона распределения наблюдаемого показателя от нормального при различных объемах выборки при

 

На рис. 6 показано, как существенно меняется распреде­ление ста­тистики Кокрена, если результаты измерений подчиняются распреде­лениям экспоненциального се­мейства с различными параметрами формы. Вид распределений стати­стики (5), представленных на рисунках 5 и 6, позволяет ут­верждать, что при нарушении предположений о нормальности результатов из­мерений, если этого не учитывать, проверяемая гипотеза о ра­венстве дисперсий может с большой вероятностью отвергаться в случае ее справедливости и при­ниматься в случае несправедливости.

В [2] утверждается, что критерий Кокрена несколько уступает по мощно­сти критерию Бартлетта. Распределения статистики Кокрена сильно зависят от объема выборок даже при нормальном законе и очень за­висят от вида наблюдаемого закона. Казалось бы, что все это делает его мало привле­кательным при произвольных наблюдаемых за­конах.

 

Рис. 6. Функции распределения статистики критерия Кокрена в случае распределений экспоненциального семейства с различными значениями параметра формы при  и

 

Однако на самом деле, как показали наши исследования, в случае при­надлежности наблюдений нормальному закону критерий Кокрена превосходит по мощности критерий Бартлетта.

Например, в таблице 1 для сравнения приведены значения мощности  данных критериев от­носительно трех различных альтернатив при различ­ных объемах выборок  для вероятно­стей ошибок первого рода =0.1, 0.05, 0.01. Конкури­рующая гипотеза предполагает, что одна из выборок, например, выборка с но­мером  имеет некоторую другую дисперсию. Рас­смотрены альтер­нативы  : ; :  и : . Осталь­ные  выборки принадле­жат нормальному закону с  (). В таблице значе­ния мощности приведены для числа выбо­рок  и достаточно больших объемов выбо­рок, т.к. при малых  мощность данных критериев, то есть их способность разли­чать близкие альтернативы, очень мала.

 

Таблица 1. Мощность критериев Бартлетта и Кокрена относительно альтернатив ,,

:

:

:

Критерий Бартлетта

Критерий Кокрена

Критерий Бартлетта

Критерий Кокрена

Критерий Бартлетта

Критерий Кокрена

200

0.1

0.1706

0.2342

0.3600

0.4778

0.8346

0.9196

0.05

0.1030

0.1078

0.2534

0.3022

0.7568

0.8370

0.01

0.0274

0.0306

0.1064

0.1362

0.5558

0.6708

500

0.1

0.2608

0.3488

0.6712

0.7976

0.9968

0.9990

0.05

0.1682

0.1938

0.5554

0.6598

0.9926

0.9974

0.01

0.0608

0.0726

0.3330

0.4288

0.9702

0.9860

1000

0.1

0.4556

0.4990

0.9432

0.9686

0.9998

1

0.05

0.3340

0.3816

0.8998

0.9410

0.9998

1

0.01

0.1368

0.2034

0.7422

0.8560

0.9996

1

 

Стандарт [3] предполагает применение критерия Кокрена при малых объ­емах выбо­рок: . Поэтому следует иметь ввиду, что при таких вели­чинах  надежно разли­чать можно лишь достаточно далекие альтер­на­тивы, когда дис­персии отличаются “в разы”.

В случае принадлежности наблюдаемых величин распределениям экспо­ненциального семейства нами построены таб­лицы верхних процент­ных точек (1%, 5%, 10%) ста­тистики Кокрена для значений параметра формы =0.5, 1, 3, 5, 10  при различ­ных m и ряда значений . Процентные точки строились на осно­вании результатов стати­стического моделиро­вания и на­ходились по смоделированным эмпирическим распределениям статистик объе­мом в 50000 с усредне­нием по ряду экспериментов. В случае распределения Лапласа (=1) полученные про­центные точки представлены в приложениях 2-4.

Заключение

Таким образом, критерии Бартлетта и Кокрена весьма чувствительны к отклонениям закона результатов измерений (наблюдаемого показателя) от нор­мального. Корректное применение этих критериев требует знания распределе­ний статистик при кон­кретных законах наблюдаемых случайных величин. Если наблюдаемый закон отличается от нормального, применение классических ре­зультатов недопустимо. В тех случаях, когда наблюдаемые случайные вели­чины хорошо описываются распреде­лением экспоненциального семейства с не­которым параметром формы , можно восполь­зо­ваться полученными в дан­ной работе таблицами соответствующих верхних процентных то­чек.

 При необходимости регулярных проверок гипотез о дисперсиях при не­которой кон­кретной модели наблюдаемого закона для нахождения (в этих ус­ловиях) распределения ста­тистики критерия Бартлетта (или Кокрена) можно рекомендовать воспользоваться мето­дикой статистического моделирования и последующего компьютерного анализа полученной зако­номерности.

Подробные результаты исследований, а также построенные таблицы про­центных точек в полном объеме доступны по адресу http:\\ami.nstu.ru\~headrd \seminar\Kontrol_Q\krit_zad.htm.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ (про­ект № Т02-3.3-3356)

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.     Миттаг Х.-Й., Ринне Х. Статистические методы обеспечения качества. – М.: Машинострое­ние. 1995.  – 600 с.

2.     Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.

3.     ГОСТ Р ИСО 5725–1–2002 ÷ ГОСТ Р ИСО 5725–6–2002. Точность (правиль­ность и преци­зионность) методов и результатов измерений. – М.: Изд-во стандар­тов. 2002.

4.     Bartlett M.S. Properties of sufficiency of statistical tests // Proc. Roy. Soc., 1937, Series A, Vol. 31. – P. 268-282.

5.     Cochran W.G. The distribution of the largest of a set of estimated variances as a fraction of their total // Ann. of eugenics, 1941, 11. – P. 47-52.

6.     Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов из­ме­рений. – Л.: Энерго­атомиздат, 1991. – 303 с.

7.     Лемешко Б.Ю., Помадин С.С. Проверка гипотез о математических ожида­ниях и диспер­сиях в задачах метрологии и контроля качества при вероятно­стных законах, отличаю­щихся от нормального // Метрология. 2004. №3. – С. 3-15.

8.     Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная стати­стика. Правила про­верки согласия опытного распределения с теорети­ческим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 87 с.

9.     Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная стати­стика. Правила про­верки согласия опытного распределения с теорети­ческим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандар­тов. 2002. – 64 с.

10. Box G.E.P. Non-normality and tests on variances // Biometrika. 1953. Vol. 40.P. 318-335.

11. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Физматгиз, 1980. – 628 с.


Приложение 1. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) кри­терия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадле­жит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

3.96

5.10

7.04

9.57

11.37

50

4.78

6.21

8.78

12.29

14.93

100

4.92

6.42

9.07

12.70

15.43

3

10

7.25

8.71

11.16

14.27

16.51

50

8.78

10.63

13.74

17.79

20.80

100

8.95

10.83

14.06

18.29

21.40

4

10

10.29

11.98

14.78

18.24

20.82

50

12.26

14.40

17.91

22.42

25.80

100

12.63

14.83

18.52

23.30

26.87

5

10

13.04

14.96

18.09

21.93

24.81

50

15.65

18.02

21.93

26.83

30.54

100

16.05

18.47

22.48

27.69

31.54

6

10

15.75

17.85

21.23

25.43

28.49

50

18.75

21.31

25.51

30.76

34.63

100

19.22

21.87

26.23

31.45

35.43

7

10

18.35

20.60

24.19

28.66

31.98

50

21.87

24.63

29.06

34.63

38.71

100

22.45

25.30

29.87

35.60

39.87

8

10

21.00

23.37

27.22

32.08

35.66

50

24.88

27.79

32.50

38.26

42.49

100

25.59

28.58

33.41

39.50

43.77

9

10

23.53

26.06

30.05

35.10

38.65

50

27.88

30.96

35.90

42.09

46.44

100

28.53

31.71

36.72

43.11

47.48

10

10

26.04

28.68

32.99

38.18

41.85

50

30.78

33.98

39.20

45.36

49.88

100

31.55

34.82

40.14

46.72

51.32

 


Приложение 2. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кокрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспонен­циального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.997

0.990

0.978

0.975

0.965

0.949

0.939

0.926

0.917

0.872

0.786

0.659

3

0.997

0.970

0.941

0.908

0.886

0.866

0.841

0.827

0.808

0.791

0.724

0.606

0.475

4

0.981

0.931

0.881

0.855

0.800

0.787

0.744

0.734

0.704

0.710

0.612

0.499

0.372

5

0.953

0.888

0.829

0.775

0.735

0.700

0.672

0.655

0.635

0.622

0.538

0.415

0.307

6

0.936

0.836

0.765

0.730

0.676

0.638

0.615

0.593

0.576

0.552

0.470

0.363

0.259

7

0.897

0.796

0.727

0.678

0.619

0.592

0.578

0.550

0.521

0.505

0.420

0.325

0.228

8

0.874

0.772

0.683

0.624

0.577

0.555

0.520

0.499

0.471

0.457

0.380

0.287

0.202

9

0.846

0.731

0.654

0.596

0.550

0.510

0.485

0.453

0.440

0.424

0.342

0.263

0.180

10

0.824

0.715

0.609

0.553

0.511

0.479

0.450

0.425

0.406

0.394

0.322

0.242

0.164

12

0.774

0.648

0.565

0.501

0.458

0.427

0.396

0.377

0.361

0.347

0.282

0.209

0.138

15

0.716

0.577

0.496

0.450

0.394

0.366

0.340

0.328

0.304

0.297

0.242

0.176

0.113

20

0.624

0.501

0.408

0.355

0.327

0.303

0.279

0.269

0.251

0.239

0.190

0.134

0.086

24

0.572

0.441

0.369

0.320

0.295

0.263

0.245

0.230

0.218

0.207

0.164

0.115

0.072

30

0.512

0.383

0.315

0.274

0.257

0.218

0.206

0.197

0.184

0.173

0.137

0.094

0.059

40

0.428

0.321

0.258

0.221

0.200

0.184

0.163

0.154

0.143

0.137

0.106

0.073

0.045

60

0.331

0.246

0.194

0.167

0.144

0.128

0.118

0.106

0.103

0.097

0.074

0.050

0.031

 


Приложение 3. Верхние процентные (5%) точки для статистики (7) критерия Кокрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспонен­циального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.999

0.984

0.966

0.947

0.928

0.910

0.894

0.885

0.870

0.862

0.815

0.728

0.623

3

0.978

0.924

0.879

0.842

0.804

0.784

0.760

0.740

0.725

0.710

0.641

0.548

0.443

4

0.938

0.852

0.803

0.747

0.706

0.679

0.658

0.635

0.623

0.604

0.534

0.447

0.346

5

0.894

0.788

0.717

0.683

0.647

0.606

0.585

0.557

0.547

0.524

0.466

0.377

0.284

6

0.857

0.737

0.662

0.616

0.570

0.551

0.526

0.495

0.482

0.464

0.407

0.327

0.239

7

0.811

0.690

0.620

0.570

0.530

0.500

0.481

0.454

0.435

0.421

0.364

0.283

0.210

8

0.765

0.650

0.571

0.529

0.492

0.460

0.433

0.416

0.398

0.389

0.333

0.256

0.185

9

0.736

0.609

0.547

0.501

0.452

0.431

0.407

0.390

0.371

0.357

0.303

0.233

0.167

10

0.710

0.578

0.511

0.465

0.426

0.398

0.379

0.359

0.344

0.330

0.276

0.214

0.152

12

0.652

0.531

0.461

0.415

0.379

0.353

0.333

0.319

0.306

0.296

0.244

0.182

0.128

15

0.590

0.466

0.406

0.357

0.329

0.306

0.285

0.276

0.262

0.246

0.204

0.151

0.104

20

0.508

0.394

0.340

0.297

0.269

0.251

0.234

0.220

0.208

0.200

0.163

0.117

0.080

24

0.461

0.348

0.304

0.264

0.241

0.222

0.207

0.191

0.182

0.172

0.139

0.100

0.067

30

0.401

0.307

0.258

0.224

0.202

0.187

0.170

0.163

0.153

0.146

0.115

0.082

0.055

40

0.338

0.263

0.212

0.182

0.167

0.148

0.139

0.130

0.120

0.106

0.083

0.064

0.042

60

0.262

0.195

0.159

0.137

0.120

0.109

0.100

0.093

0.087

0.084

0.064

0.045

0.029

 


 Приложение 4. Верхние процентные (10%) точки для статистики (7) критерия Кокрена, построенной по m независи­мым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экс­поненциального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.996

0.969

0.942

0.917

0.894

0.874

0.857

0.849

0.832

0.823

0.776

0.698

0.606

3

0.955

0.879

0.826

0.788

0.756

0.730

0.711

0.688

0.672

0.661

0.597

0.519

0.428

4

0.895

0.796

0.740

0.691

0.653

0.624

0.605

0.581

0.572

0.555

0.496

0.420

0.332

5

0.842

0.720

0.657

0.615

0.586

0.552

0.534

0.511

0.499

0.483

0.428

0.351

0.273

6

0.790

0.671

0.604

0.554

0.518

0.495

0.479

0.448

0.439

0.424

0.375

0.305

0.231

7

0.743

0.621

0.559

0.509

0.474

0.455

0.432

0.410

0.394

0.381

0.334

0.267

0.202

8

0.698

0.575

0.517

0.472

0.440

0.415

0.389

0.374

0.364

0.355

0.302

0.238

0.178

9

0.669

0.547

0.485

0.441

0.407

0.384

0.368

0.352

0.333

0.320

0.278

0.217

0.160

10

0.637

0.522

0.457

0.412

0.379

0.358

0.341

0.325

0.311

0.298

0.255

0.200

0.146

12

0.585

0.468

0.408

0.367

0.343

0.316

0.299

0.286

0.274

0.265

0.222

0.170

0.123

15

0.522

0.412

0.355

0.321

0.295

0.274

0.255

0.244

0.237

0.220

0.186

0.141

0.100

20

0.446

0.347

0.298

0.265

0.237

0.226

0.209

0.199

0.187

0.180

0.148

0.110

0.077

24

0.403

0.309

0.266

0.232

0.214

0.195

0.184

0.171

0.163

0.156

0.128

0.094

0.065

30

0.351

0.270

0.227

0.200

0.181

0.167

0.152

0.147

0.139

0.130

0.106

0.077

0.053

40

0.297

0.226

0.186

0.162

0.148

0.132

0.123

0.118

0.109

0.117

0.091

0.060

0.040

60

0.230

0.173

0.140

0.121

0.107

0.096

0.090

0.085

0.079

0.076

0.059

0.042

0.028