Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т.4. - № 2. - С. 166-183.

УДК 519.24

 

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ L-ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СДВИГА И МАСШТАБА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ВЫБОРОЧНЫМ КВАНТИЛЯМ[1]

 

Б.Ю. Лемешко, Е.В. Чимитова

Новосибирский государственный технический университет

 

Исследуются свойства L-оценок параметров сдвига и масштаба в виде линей­ных ком­бинаций выборочных кван­тилей. Предлагается использовать для по­строения таких оценок выборочные квантили, соответствующие асимп­то­тически оптимальному группированию, при котором минимизируются потери в информации Фишера. Построены таблицы коэффициентов L-оценок пара­метров для ряда законов распределений, позволяющие просто вычислять оптимальные L-оценки. Методами статистического модели­рования показано, что предельными распределениями статистики критерия согласия  Пирсона в случае использования L-оценок являются -распре­деления.

 

Введение. L-оценки параметров распределений, формируемые как линейные комби­нации порядковых статистик или выборочных квантилей, обладают двумя важными для ши­рокого практического применения качествами: чрезвычайной простотой вычислений и очень хорошими свойствами робастности.

В данной работе мы остановимся на оценках параметров сдвига и мас­штаба, вычисле­ние которых базируется на зна­че­ниях выбо­рочных квантилей [1]. Самой сложной операцией при вычислении таких оценок является сор­тировка имеющейся выборки по возрастанию с целью опре­деления выборочных квантилей наблюдаемого закона. Интуитивно ясно, что, так как L-оценки получаются в виде линейной ком­бинации выборочных кван­тилей, то отдель­ные аномальные наблюдения (очень большие или очень ма­лые), возможно при­сутствующие в выборке, ни коим образом не влияют на зна­че­ния оценок пара­метров закона распределе­ния. Такие оценки являются робастными, как и оценки максимального правдоподобия по группи­рованным наблюдениям [2, 3]. Робастность этих оценок под­твер­жда­ет вид функций влияния Хампеля [4], которые для L-оценок представляют собой ступенчатые, ограниченные по абсолютной величине зависимости [5, 6].

В данном случае основное внимание будет уделено тому, какие квантили закона рас­пределения при заданном их числе следует использовать, чтобы асимп­тоти­ческие свойства рассматриваемых L-оценок были наилучшими? Насколько отличаются свойства оценок при ограниченных объемах выборок от асимптотических? Как отра­жается использование рас­сматриваемых оценок на распределении ста­тистики критерия согласия  Пирсона при про­верке сложной гипотезы?

Построение L-оценок параметров сдвига и масштаба. Опираясь на асимп­тотиче­ское распределение выборочных кван­тилей ( квантилей при  интервалах) [7], Дз. Ога­вой в работах [8, 1] получено асимп­тотическое распреде­ление выбо­рочных квантилей для функции плотности, зависящей только от параметров расположения  и рассеяния . Им же (см. стр. 54-60, [1]) методом наименьших квадратов построены “оптимальные линейные не­смещенные оценки” пара­метров сдвига и мас­штаба, в основе которых лежат значения выбо­рочных квантилей.

            Пусть  и  неизвестные параметры сдвига и масштаба закона с функ­цией распреде­ления  и функцией плотности .

            При известном параметре  оценка параметра  имеет вид [1]

,                                                                (1)

где

,                                                    (2)

,                                                            (3)

,                                    (4)

, , , . Здесь  – оценка по наблюдаемой выборке квантили закона такой, что , где  – соответствующая квантиль стандартного распре­деления с нулевым параметром сдвига и единичным масштабным. Через  – обо­значено количество информации Фишера о соответствующем параметре по груп­пированным данным. В общем случае информационная матрица Фишера о векторе парамет­ров распределения  по группи­рованным наблюдениям определяется выражением

,

где  - вероятность попадания наблюдения в интервал. В случае , это будет матрица

.

            При известном параметре  оценка параметра  определяется выражением [1]

,                                                                 (5)

где

,                                             (6)

,                                                (7)

При симметричных функциях плотности и симметричных квантилях второе слагаемое в фор­мулах (1) и (5) равно нулю.

            Если неизвестны оба параметра, то оценки параметров сдвига и мас­штаба представ­лены соотношениями [1]:

,                                                               (8)

,                                                             (9)

где .

            Соотношения (1), (5), (8) и (9) можно преобразовать в совсем простую зависимость [9]. Формулу (1) для оценивания  при известном  можно привести к виду

,                                                              (10)

где

,

,

;

.

            А формулу (5) для оценивания  при известном  пред­ставить в виде

,                                                             (11)

где

,

,

;

.

            Аналогично формулы (8) и (9) можно преобразовать к виду

,                                                                     (12)

,                                                                     (13)

где

,

.

            Выбор квантилей  стандартного распределения и вычисление , , , . Все рас­смотренные выше оценки параметров асимпто­тически эффективны [1] и их асимпто­тические дисперсии определяются количеством информации Фишера по группи­ро­ван­ным данным, а в случае векторного пара­метра – соответствующей информационной мат­рицей

.                                                              (14)

            Коэффициенты , , ,  зависят от граничных точек  (кван­тилей стандартного распределения). Очевидно, что, так как рассмат­риваемые оценки асимптотически эффек­тивны, то использование квантилей (граничных точек интервалов), соответствующих асим­птотически оптималь­ному группированию, при котором минимизируются потери в ин­фор­мации Фишера, связанные с группированием [10, 11], обеспечит оптимальные свой­ства этих оценок [9]: мини­мум асимптотической дисперсии, а в случае оценивания сразу двух па­ра­мет­ров – минимум обобщенной асимптотической дисперсии. Несложно вы­числить значе­ния , , ,  при асимптотически оптимальном группиро­ва­нии и сформировать таб­лицы соот­ветствующих коэффициентов. И если в случае больших выборок мы будем выби­рать  та­ким образом, чтобы , где  - соот­ветствует вероятности попадания в ин­тервал при асимп­тотически опти­мальном группировании, используя, соответствен­но, фор­мулы (10), (11), (12) и (13) с полученными коэффициентами, то бу­дем получать оптимальные оценки.

Отметим, что в частных случаях решение такой задачи рассматривалось в ряде ра­бот. В [1, 12] рассматривались оценки параметров для нормального рас­пре­деления, в [1] - для од­нопараметрического экспоненциального распределе­ния, в [13] - для двухпараметрического экспоненциального распределе­ния, в [14] – для параметров логистического распределения, в [15] - для пара­метров распределения Коши, в [16] - для параметров распределения экс­тре­мальных значений. Приближенный подход к решению такой задачи рассматривался в [17]. Причем в случае одновременного оце­нивания пара­метров  и  оптимальные наборы гра­ничных точек опреде­лялись исходя из минимума величины , , а не минимума .

            Опираясь на построенную нами совокупность таблиц асимптотически оптимального группирования [11,18], значения коэффициентов , , ,  для параметров законов рас­пределений, упоминаемых в данной статье, получены в [9] (64 таблицы) и вместе с табли­цами асимптотически оптимального группирования (58 таблиц) доступны читателям жур­нала на WEB-сайте [19].

Таблицы коэффициентов для формул вида (10), (11), (12) и (13) сформированы для нормального распределения, для логистического распределения с функцией плотности

,

для распределения Коши с плотностью

,

для распределения наименьшего экстремального значения с плотностью

,

для распределения наибольшего экстремального значения с плотностью

.

При этом в зависимости от того, известен ли один из параметров или неизвестны оба пара­метра, наборам коэффициентов ,  и паре ,  соответствуют свои таблицы асимпто­тически оптимального группирования. В частности, для нормального рас­пре­деления асим­птотически оптимальные граничные точки  для случая одновременного оценивания двух параметров представлены в табл. 1, а соответствующие вероятности – в табл. 2. Полученные значения коэф­фи­циентов , приведены в табл. 3 - 4.

            Для распределений экспоненциального с плотностью

,

модуля нормального вектора () с плотностью

,

частными случаями которого являются распределения полунормальное - , Рэлея -  и Макс­велла - , таблицы коэффициентов ,  ,  опираются на таблицы асим­птотически оптимального груп­пирования только относительно масштабного параметра . Это связано с тем, что область определения этих случайных величин зависит от пара­метра сдвига  и, следовательно, в этом случае теряет смысл максимизация соотношения (3) для построения асимптотически оптимальных граничных точек относительно этого пара­метра.

            Симметричность коэффициентов в формулах (10), (11), (12) и (13) для симметричных распределений определяется симметричностью опти­маль­ных граничных точек интервалов. Для параметров масштаба при известном параметре сдвига и четном  задача асимптоти­че­ски опти­мального группирования обычно имеет два решения с несимметричными значе­ниями квантилей. В таких случаях пара этих решений зеркальна относительно центра сим­метрии распределения. Поэтому не единственным будет оптимальный набор коэффициентов в формулах (11). Таким обра­зом, не оправдывается предположение о симметричности опти­мальных по­рядковых статистик для параметра  нормального распределения, выска­занное в [20].

            Значения , фигурирующие в формулах (10), (11), (12) и (13), следует выбирать из ус­ловия

,

где  - члены вариационного ряда , построенного по исходной вы­борке, ,  - означает целую часть числа, а  - выбираются из соответствующей строки таблицы оптимальных вероят­нос­тей. Например, в качестве  могут быть взяты средние значения между соответствую­щими соседними членами вариационного ряда.

Пример. Для нормального распределения при  соотношение (10) принимает вид (см. [19])

,

соотношение (11) (см. [19]) –

,

соотношения (12) и (13) (см. табл. 3-4) –

,

.

            Если мы оцениваем оба параметра, для определения  вероятности  выбираются из табл. 2. И при объеме выборки в 1000 наблю­дений в качестве , , можно взять сред­ние значения между следующими парами членов вариа­ци­онного ряда: , , , , , , , .

Точность оценивания квантилей и L–оценок. Оптимальные L-оценки параметров сдвига и масштаба являются асимптотически эффективными. На практике же мы имеем дело с выборками ограниченного объема. Понятно, что и точность оценивания квантилей , и точность вычисления L-оценок зависят от объема выборки . В качестве основного возра­жения против использования L-оценок обычно выдвигают возможную значительную неточ­ность в определении выборочных квантилей , которая должна отражаться на точности L-оценок. Методами статистического моделирования мы исследовали законы распределения выборочных квантилей и получаемых L-оценок в зависимости от конкретных объемов выбо­рок  и числа используемых квантилей для различных законов распределений. На рис. 1 для случая оценивания масштабного параметра  экспоненциального закона при использовании 5 квантилей (число интервалов ) приведены центрированные плотности выборочных квантилей  и L-оценок , построенных по этим выборочным квантилям (центриро­ванные относительно истинных значений квантилей  и параметра ) при объемах выборок . Экспоненциальный закон моделировался с масштабным параметром . Значения асимптотически оптимальных квантилей , , для данной ситуации соответственно равны [11,18,21]: 0,4993; 1,0997; 1,8538; 2,8714; 4,4650. Значение L-оценки  определялось по формуле:

 

Рис. 1. Центрированные распределения выборочных асимптотически оптимальных квантилей и L-оценок масштабного параметра экспоненциального распределения при объемах выборок

 

Для построения приведенных на рисунке законов распределения формировались вы­борки оценок из  значений, каждое из которых находилось по выборке объема  случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону. Для большей точности параметры найденных моделей законов распределения оценок усреднялись по 100 таким экспериментам. Для сравнения на рисунке построена также плотность асимптотического распределения оценки максимального правдоподобия (ОМП)  по точечной выборке. Срав­нивая плотность асимптотически эффективной ОМП по точечной выборке с плотностью L-оценки, мы видим, что последние мало уступают ОМП. Это естественно, так как в данном случае при асимптотически оптимальном группировании сохраняется 94,76% информации Фишера о параметре масштаба . Следовательно, стандартное отклонение предельного рас­пределения  превышает стандартное отклонение распределения  не более чем на 2,73%.

Рисунок наглядно демонстрирует, что, несмотря на относительно невысокую точ­ность оценивания квантилей ,  и , мы имеем достаточно высокую точность оцени­вания параметра масштаба  наблюдаемого экспоненциального закона. При этом очевидно, что эти оценки не многим уступают ОМП по точечным (негруппированным) наблюдениям, имея существенное преимущество в робастности.

Точность L-оценок в зависимости от объема выборок. Характер изменения точно­сти L-оценок с ростом объема выборок  при фиксированном числе используемых кванти­лей показывают рис. 2 и 3. На рисунках приведены, соответственно, плотности оценок  и  параметров нормального закона, центрированные относительно истинных значений пара­метров  и ,  для случая  в зависимости от , когда при построении L-оценок ис­пользуются всего две выборочных квантили, соответствующие асимптотически оптималь­ному группированию, и одновременно оцениваются оба параметра. Выборки нормального закона объема  генерировались с параметрами  и .

 

Рис. 2. Плотности распределения L-оценок  при  в зависимости от

 

Рис. 3. Плотности распределения L-оценок  при  в зависимости от

 

О сравнительной точности оценивания можно судить по значениям среднеквадратич­ного отклонения закона, описывающего распределение соответствующих оценок при кон­кретных объемах выборок. Значения среднеквадратичного отклонения характеризуют рассея­ние оценок. Например, в табл. 5 для различных объемов выборок представлены значения среднеквадратичных отклонений (СКО) для ОМП по точечным выборкам  и  и для L-оценок  и  параметров сдвига и масштаба логистического закона при . Характери­стики рассеяния для ОМП по группированным наблюдениям в данном случае совпадают с характеристиками рассеяния L-оценок. В то же время следует отметить, что в общем случае ОМП по группированным наблюдениям все-таки несколько точнее. Исследования при ко­нечных объемах выборок распределений оценок параметров сдвига и масштаба, рассматри­ваемых в данной работе законов, показали, что всегда  и . Однако если это преимущество и оказывается за ОМП по группированным наблюдениям, то оно не­значительно.

 

Таблица 5.

Объем выборки

ОМП по точечной выборке

L-оценки

СКО

СКО

СКО

СКО

100

0,0947

0,0833

0,0997

0,0927

300

0,0550

0,0482

0,0577

0,0541

500

0,0426

0,0373

0,0446

0,0420

1000

0,0301

0,0264

0,0315

0,0297

2000

0,0214

0,0187

0,0224

0,210

 

Точность L-оценок в зависимости от числа используемых квантилей. Характер измене­ния точности L-оценок с ростом числа используемых квантилей при фиксированном объеме выборки  показывают рис. 4 и 5. На этих рисунках приведены центрированные от­носи­тельно истинных значений параметров  и  плотности оценок  и  параметров нор­мального закона при объеме выборки  и различном числе  используемых вы­бо­рочных квантилей, для случая одновременного оценивания двух параметров. Выборки нор­мального закона, как и в предыдущем случае, генерировались с параметрами  и . Для сравнения на рисунках представлены центрированные распределения ОМП  и , полученные также в результате моделирования. Сохраняемое различие в законах распре­деле­ния ОМП и L-оценок при  связано с величиной относительной асимптотической ин­формации о параметрах закона . Эта величина определяет часть ин­форма­ции, сохраняющейся при группировании выборки (при переходе к выборочным кван­тилям), и составляющую в данном случае величину 0,8753.

Рис. 4. Плотности распределения L-оценок  при  в зависимости от

 

Рис. 5. Плотности распределения L-оценок  при  в зависимости от

 

Распределения статистики  Пирсона при использовании L-оценок. При анализе наблюдений случайных величин оценивание параметров модели наблюдаемого закона все­гда оказывается лишь первым этапом. Следующим этапом является проверка адекватности по­строенной модели наблюдаемым данным. Проверка адекватности найденной теоретиче­ской модели закона распределения наблюдаемому эмпирическому распределению осуществ­ляется с использованием критериев согласия. Если  мы проверяем согласие по той же вы­борке, по которой оценивали и параметры, то имеем дело с проверкой сложной гипотезы. В этом случае предельное распределение статистики любого критерия согласия (касается ли это критериев типа  или непараметрических критериев типа Колмогорова и типа  Ми­зеса) зависит от применяемого метода оценивания параметров. И для того, чтобы восполь­зо­ваться каким-либо критерием согласия, вычислив L-оценки, необходимо знать (предель­ное) распределение статистики этого критерия, соответствующее данной проверяемой слож­ной гипотезе.

В частности, при справед­ливости сложной проверяемой гипотезы  предельным распределением  статистики критерия согласия Пирсона , где  - объем выборки,  - количество наблюдений, попавших в -й интервал,  - вероятность попадания наблюдения в интервал,  - вектор параметров закона с плотностью , относительно которого проверяется гипотеза, - граничные точки интервалов, является -распределение в том случае, если  компонентов вектора пара­метров за­кона оцениваются по этой же выборке в результате мини­мизации этой же ста­тистики. Статистика  подчиняется -распределению и в том случае, если использу­ются ОМП по группирован­ным наблюдениям (см. стр. 563-567 в [21], стр. 460-470 в [22], [23]). Последнее подтверждают и наши исследования методами статистического моделиро­вания, которые показали хорошее согласие получаемых эмпирических распределений стати­стики  с -распределениями при проверке сложных гипотез с использованием ОМП по группированным наблюдениям (при конечных объемах выборок).

Начиная исследование распределений статистики  при проверке сложных гипотез с использованием L-оценок, мы надеялись на справедливость наших предположений о том, что и в данном случае предельными распределениями статистики являются -распреде­ления. Действительно, статистическое моделирование распределений статистики  с ис­пользованием L-оценок (для различных наблюдаемых законов; при различном числе исполь­зуемых квантилей, которое соответствует числу интервалов группирования при вычислении статистики; при различном числе оцениваемых параметров) и последующий анализ показали очень хорошее согласие получаемых эмпирических распределений статистики с соответст­вующими -распределениями.

Например, на рис. 6 представлены эмпирическая функция распределения статистики  при проверке согласия с экспоненциальным законом распределения в случае использо­вания L-оценок масштабного параметра этого закона при объеме выборок  и числе интервалов  и функция -распределения (). Эмпирическая функция распределения построена по выборке из  смоделированных значений статистики . А на рис. 7 приведена аналогичная картина, соответствующая  проверке согласия с нор­мальным законом распределения при использовании L-оценок параметров сдвига и мас­штаба. И также при объеме выборок  и числе интервалов . В этом случае число степеней свободы предельного -распределения . Как видим, на приводимых рисунках эмпирические функции распределений статистики визуально практически совпадают с теоретическими -распределениями. Проверка гипотез о согласии с -рас­пределениями по критериям, реализованным в [24] ( Пирсона, отношения правдоподобия, Колмогорова,  и  Мизеса), подтвердила очень хорошее согласие.

 

Рис. 6. Распределение статистики  с использованием L-оценок параметра экспоненциального распределения, ,

 

Рис.7. Распределение статистики  с использованием L-оценок параметров

сдвига и масштаба нормального распределения, ,

 

-распределения являются частным случаем гамма-распределения с плотностью , в котором параметр формы  и параметр масштаба . Наи­лучшей моделью для эмпирических распределений статистики , получаемых в ре­зультате моделирования, оказались гамма-распределения. При повторении испытаний, ука­занных в предыдущем абзаце, была получена серия из 10 эмпирических распределений, каж­дое из ко­торых было сглажено гамма-распределением, параметры которого оценивались по выборке значений статистик. Средние значения параметров гамма-распределения по серии из 10 экс­периментов, соответствующих проверке согласия с экспоненциальным законом, со­ставили: =1,02405; =1,966607 (вместо положенных для -распределения значений параметров, соответ­ственно, 1 и 2). А для рассмотренной выше ситуации проверки согласия с нормальным законом получены пара­метры гамма-распределения – =1,51723; =2,003205 (вместо 1,5 и 2). Очевидно, что ус­реднение по большему числу реализаций приведет нас к соответствующим -распределе­ниям.

Заключение

L-оценки асимптотически эквивалентны ОМП по группированным наблюдениям, и асимптотические дисперсионные матрицы этих оценок определяются соотношением (14). Но при конечных  разница между свойствами этих оценок все же заметна. Дисперсионные матрицы оценок практически совпадают при , а при меньших объемах выборок пре­имущество, хотя и незначительное, за ОМП по группированным данным.

Преимущество L-оценок в другом. Определение ОМП по группированным наблюде­ниям всегда, а ОМП по точечным выборкам за редким исключением (например, экспоненци­альный и нормальный законы) связано с проблемами вычислительного характера, так как требуется реализация итерационного процесса для определения максимума функции правдо­подобия или решения системы уравнений правдоподобия. По сравнению с этим, вычисление L-оценок параметров сдвига и масштаба реализуется элементарно. При этом самой трудоем­кой операцией является процедура упо­рядочивания исходных наблюдений. Применение таб­лиц вероятностей попадания в интервал, соответ­ству­ющих асимптотически оптимальному группированию, и формул (10-13), опи­рающихся на вычисленные таблицы коэффициентов, позволяют легко по­лучать оптимальные оценки параметров сдвига и масштаба для больших выборок.

Использование L-оценок не вызывает проблем в применении критериев согласия типа  Пирсона и отношения правдоподобия, так как распределениями статистик этих кри­те­риев являются -распределения. А применение готовых таблиц вероятностей попада­ния в интервал, соответ­ству­ющих асимптотически оптимальному группированию, делает эле­ментарной и процедуру вычисления статистики .

Как и все оценки по группированным данным L-оценки являются робастными. Они устойчивы к наличию аномальных ошибок измерений, к малым отклонениям от исходных пред­по­ложений о виде наблюдаемого закона распределения.

Все вышесказанное позволяет настоятельно рекомендовать использование L-оценок в приложениях. Полный состав таблиц, которыми можно воспользоваться при вычислении L-оценок и проверке гипотез о согласии, представлен в [19].

             

ЛИТЕРАТУРА

1.      Сархан А.Е., Гринберг Б.Г. Введение в теорию порядковых статистик. – М.: Статистика, 1970. – 414 с.

2.      Лемешко Б.Ю. Группирование наблюдений как способ полу­чения ро­баст­ных оценок // Надежность и контроль качества. – 1997. – № 5. – С. 26-35.

3.      Лемешко Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка ано­маль­ных изме­рений // За­водская лаборатория. – 1997. – Т.63. – № 5. – С. 43-49.

4.      Hampel F.R. The influence curve and its role in robust estimation // J. Amer. Statist. Ass., 1974. – V. 69. – № 346. – P. 383-393.

5.      Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984. – 303 с.

6.      Шуленин В.П. Введение в робастную статистику. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. – 227 с.

7.      Mosteller F. On some useful inefficient statistics. Ann. Math. Statist. 17 (1946). – P. 377-407.

8.      Ogawa J. Contributions to the theory of systematic statistics. I. Osaka Math. J. 3 (1951). – P. 175-213.

9.      Лемешко Б.Ю. Оптимальные оценки параметров сдвига и масштаба по выборочным квантилям для больших выборок / Тр. третьей меж­дународной научно-технической кон­ференциии “Актуальные проблемы электронного приборострое­ния АПЭП-96”. – Т. 6. – Ч.1. – Новосибирск, 1996. – С. 37-44.

10.  Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группиро­ванным выборкам. – М.: Наука, 1966. – 176 с.

11.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группи­рование, оцен­ка параметров и планирование регрессионных экспери­ментов. В 2-х ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. – Но­во­сибирск, 1993. – 347 с.

12.  Eisenberger J., Posner E.C. Systematic statistics used for data compression in space telemetry. J. Amer. Statist. Ass. 60 (1965). - P. 97-133.

13.  Saleh A.K.M.J., Ali M.M. Asymptotic optimum quantiles for the esti­mation of the parameters of the negative exponential distribution. Ann. Math. Statist. 37 (1966). – P. 143-151.

14.  Gupta S.S., Gnanadesikan M. Estimation of the parameters of the logistic distribution. Biometrika, 53 (1966). – P. 565-570.

15.  Bloch D. A note on the estimation of the location parameter of the Cauchy distribution. J. Amer. Statist. Ass. 61 (1966). – P. 852-855.

16.  Hassanein K.M. Analysis of extreme-value data by sample quantiles for very large samples. J. Amer. Statist. Ass. 63 (1968). – P. 877-888.

17.  Särndal C.E. Estimation of the parameters of the gamma distribution by sample quantiles. Technometrics. 6 (1964). – P. 405-414.

18.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Прикладная статис­тика. Правила про­верки согласия опытного распределения с тео­ретическим. Мето­дические рекомендации. Часть I. Критерии типа  . – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. – 126 c.

19.  http://www.ami.nstu.ru/~headrd/.

20.  Дэйвид Г. Порядковые статистики.  – М.: Наука, 1979. – 336 с.

21.  Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Нау­ка, 1973. – 900 с.

22.  Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. – 648 с.

23.  Birch M.W. A new proof of the Pearson–Fisher theorem // Ann. Math. Statist. – 1964. V. 35. – P. 817.

24.  Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин: Программная система. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. – 125 с.


[1] Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 00-01-00913)

 

 

[Содержание]