Пусть мы имеем выборку случайных величин, распределенных по нормальному закону . В этом случае задачи проверки гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях формулируются следующим образом.

1. В критерии проверки гипотез вида при известной дисперсии используется статистика , которая при справедливости гипотезы подчиняется нормальному распределению: . Проверяемая гипотеза отклоняется при больших отклонениях от .

2. Для проверки гипотезы при неизвестной дисперсии используется статистика , где , . При справедливости статистика распределена как – распределение Стьюдента.

1.2. Сравнение двух выборочных средних из нормальных совокупностей

Проверяется гипотеза вида .

1.2.0. При известных дисперсиях

Применение критерия сравнения двух выборочных средних при известных и равных дисперсиях предусматривает вычисление статистики

, (5)

где , - объем -й выборки,

В случае принадлежности наблюдений нормальным законам статистика подчиняется стандартному нормальному закону.

1.2.1. При неизвестных, но равных дисперсиях

При неравных объемах выборок статистика критерия имеет вид

где

, , , , или

В случае нормального закона эта статистика в случае справедливости должна подчиняться распределению Стьюдента с числом степеней свободы , то есть .

При равных объемах выборок статистика принимает вид

а .

1.2.2. При неизвестных и неравных дисперсиях

Смотри [Закс Л., с.248-252]. Проверяется гипотеза вида при условии, что . Такая задача получила название проблемы Беренса-Фишера

При неравных объемах выборок статистика критерия имеет вид

а число степеней свободы

При равных объемах выборок –

1.3. Сравнение средних значений двух малых выборок по Лорду

Смотри [Закс Л., с.254]. [Lord E., 1947]

Критерий предназначен для сравнения центров независимых рядов измерений равного объема (). Статистика критерия имеет вид

где , – размахи выборок. Предполагается принадлежность наблюдений нормальному закону и равенство дисперсий. Утверждается, что критерий имеет такую же мощность (в табулированной области объемов выборок), как и t-критерий.

Проверяемая гипотеза отклоняется, когда значение статистики оказывается больше критического.

1.4. Сравнение средних значений нескольких выборок равного объема по Диксону

Смотри [Закс Л., с.255-256].

[Dixon., 1953]. Критерий используется для проверки значимости отклонения среднего одной выборки от средних значений других выборок. Предполагается, что является наименьшим или наибольшим в ряду средних значений , . Ряд средних значений упорядочивается либо по возрастанию , либо по убыванию . Статистика критерия имеет вид

Проверяемая гипотеза о незначимости отклонения от остальных отклоняется при больших значениях статистики. Рассматриваются варианты данной статистики. Считается, что критерий устойчив к нарушению предположений о нормальности наблюдаемого закона.

1.5. U-критерий Уилкоксона, Манна и Уитни

Смотри [Закс Л., с.270-281].

Ранговый критерий Манна и Уитни [Mann, Whitney, 1947] основан на критерии Уилкоксона для независимых выборок. Он является непараметрическим аналогом t-критерия для сравнения двух средних значений непрерывных распределений.

Асимптотическая эффективность U-критерия равна по сравнению с t-критерием [Закс Л., с.270].

U-критерий Уилкоксона, Манна и Уитни проверяет гипотезу о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности : . Эта гипотеза включает также равенство значений медиан и равенство средних значений .

Для вычисления статистики упорядочивают значений объединенной выборки, определяют сумму рангов , соответствующую элементам первой выборки, и сумму рангов второй . Вычисляем

Для контроля правильности можно использовать равенство . Статистика критерия имеет вид

Проверяемая гипотеза отклоняется, когда значение статистики оказывается меньше критического.

Считается, что U-критерий является самым строгим непараметрическим критерием.

Для достаточно больших выборок (), когда объемы выборок не слишком малы (), используется статистика

хорошо описываемая стандартным нормальным распределением [Mann H.B., Whitney D.R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other // Ann. Math. Statist. 1947. V.18. – p. 50-60].

1.6. H-критерий Краскела-Уаллиса

Смотри [Закс Л., с.281-283], [Мардиа К., Земроч П., с. 24-27].

Данный критерий [Kruskal, Wallis, 1952] является развитием U-критерия для проверки гипотезы (о равенстве средних) по выборкам.

Объединенную выборку упорядочивают и вычисляют суммы рангов для -й выборки, . Статистика для проверки нулевой гипотезы имеет вид

представляет собой дисперсию ранговых сумм. При больших и (практически при , ) при справедливости проверяемой гипотезы статистика подчиняется -распределению. Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

2. Критерии проверки гипотез о дисперсиях

2.1. Классические критерии проверки гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях по одной выборке

1. Для проверки гипотезы вида при известном математическом ожидании вычисляется статистика , условным распределением которой является – распределение.

2. В критерии проверки гипотезы вида при неизвестном математическом ожидании используется статистика , подчиняющаяся – распределению.

2.2. Сравнение двух выборочных дисперсий из нормальных совокупностей

Для определения того, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности.

Проверяется гипотеза вида . Статистика для проверки гипотезы имеет вид

В случае принадлежности выборок нормальному закону и справедливости эта статистика подчинятся -распределению Фишера с числом степеней свободы и (). В зависимости от альтернативы критерий может быть односторонним () или двусторонним (например, ).

В многочисленных источниках подчеркивается, что результат проверки может сильно зависеть даже от небольших отклонений от нормального распределения.

Непараметрические критерии о дисперсиях [Cochran, 1947], [Box, 1953], [Box, Anderson, 1955], [Levene, 1960]: для сравниваемых рядов измерений образуют и к ним применяют критерий суммы рангов; если ряды абсолютных отклонений можно рассматривать как выборки из распределений с равными средними значениями, при двух выборках применяется U-критерий, при большем числе выборок H-критерий Краскела-Уоллиса.

2.3. Проверка равенства нескольких дисперсий для выборок равного объема по Хартли

Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии выборок объема имеет вид:

. (1)

а конкурирующая с ней гипотеза –

, (2)

где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов , .

Статистика для проверки гипотезы имеет вид

Степенями свободы для распределения статистики являются число выборок и . В [Закс Л.] приводятся таблицы процентных точек для статистик, заимствованные из [Pearson E.S., Hartley H.O.]

2.4. Ранговый критерий рассеяния Зигеля и Тьюки

Зигель и Тьюки [Siegel, Tukey, 1960] предложили непараметрический критерий, основанный на критерии Уилкоксона. Проверяемая гипотеза заключается в том, что две независимые выборки принадлежат к общей генеральной совокупности с одинаковыми характеристиками рассеяния.

В [Закс Л., с.264-266] говорится, что в случае возрастания различия между средними значениями двух выборок возрастает вероятность ошибки второго рода для данного критерия. В то же время критерий чувствителен к разнице дисперсий при равных параметрах положения.

При использовании критерия объединенная выборка объемом (при ) упорядочивается (строится вариационный ряд). Ранги элементам такой выборки присваиваются следующим образом: наименьшее значение получает ранг 1, два наибольших значения получают ранги 2 и 3, ранги 4 и 5 получают следующие наименьшие значения, 6 и 7 – следующие наибольшие значения и т.д. Если число наблюдений нечетно, то среднее наблюдение не получает никакого ранга, если четное – оно получает наивысший ранг.

Для каждой выборки определяют сумму рангов и . При проверяемой гипотезе соответствует соотношение . Чем больше отличаются и , тем больше выборки отличаются по своим дисперсиям.

Для оценки разности при малых выборках () авторы [Siegel, Tukey, 1960] дают точные критические значения.

Для не слишком малых выборок ( и или и ) используют статистику

где – сумма рангов меньшей выборки, которая приближенно подчиняется нормальному закону. Если , то в выражении для статистики заменяют на .

Следует иметь ввиду, что при сильно различающихся объемах выборок и предлагается использовать скорректированное выражение для статистики:

Другая коррекция для статистики предусматривается в случае присутствия в выборках большого числа одинаковых значений.

2.5. Упрощенный критерий Тьюки

Смотри [Закс Л., с.266-268].

Не стоит рассматривать.

2.6. Сравнение рассеяния двух малых выборок по Пиллаи и Бунавентуре

Смотри [Закс Л., с.253].

Предполагается, что распределения приближенно нормальные. Рассеяния двух независимых выборок сравниваются по величине размахов. Если и размахи выборок с объемами и и при этом >, то формируется статистика (аналог F-критерия). В [Pullai, Buenaventura A.R., 1961] получены верхние процентные точки для этой статистики при и ≤10, которые приведены в [Закс Л., с.253].

2.7. Критерий Левене об однородности дисперсий [Levene, 1960].

Критерий Левене (Levene 1960) используется для проверки того, что выборок имеют равные дисперсии. Критерий Левене является альтернативой критерию Бартлетта. Считается, что критерий Левене менее чувствителен к отклонениям от нормальности.

Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии выборок имеет вид:

. (1)

а конкурирующая с ней гипотеза –

, (2)

где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов , .

Пусть − объем -й выборки, , − -е наблюдение в -й выборке. Статистика критерия Левене имеет вид:

где может определяться одним из следующих способов:

где − есть среднее в -й выборке.

где − есть медиана в -й выборке.

где − есть усеченное среднее в -й выборке.

− есть среднее по -й выборке, − есть среднее по всем выборкам.

Эти три варианта выбора определяют устойчивость критерия Левене. В оригинальной работе Левене предусмотрено только использование выборочных средних. Brown and Forsythe (1974) расширили критерий Левене на случай использования выборочных медиан и усеченного среднего. Их исследования критерия методом Монте-Карло показало, что при использовании усеченного среднего критерий устойчив к отклонениям в сторону распределения Коши, а в случае использования выборочных медиан − к асимметрии закона. Использование среднего обеспечивает лучшую мощность критерия в случае симметричных и умеренно отличающихся распределений.

В критерии Левене проверяемая гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется, если

где − верхнее критическое значение -распределения с и степенями свободы и уровнем значимости .

1. Levene H. Robust tests for equality of variances. In I.Olkin and others (Eds): Contributions to probability and Statistics. Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford, 1960. – p. 278-292.

2. Brown, M. B. and Forsythe, A. B. (1974), Journal of the American Statistical Association, 69, 364-367.

Литература

3. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. – 598 с.

4. Cochran W.G. Some consequences when the assumptions for the analysis or variance are not satisfied // Biometrics. 1947. V.3. – p. 22-38.

5. Box G.E.P. Non-normality and tests on variances // Biometrika. 1953. V. 40. – p. 318-335.

6. Box G.E.P., Anderson S.L. Permutation theory in the derivation of robust criteria and the study of departures from assumption. With discussion // J. Roy. Statist. Soc., Ser. B. V. 17. 1955. – p. 1-34.

7. Pearson E.S., Hartley H.O. Biometrika Tables for Statisticians. Cambridge, 1958. V.1.

8. Siegel S., Tukey J.W. A nonparametric sum of ranks procedure for relative spread in unpaired samples // J. Amer. Statist. Assoc. 1960. V. 55. – p. 429-455.

9. Mann H.B., Whitney D.R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other // Ann. Math. Statist. 1947. V.18. – p. 50-60.

10. Kruskal W.H., Wallis W.A. Use of ranks in one-criterion variance analysis // J. Amer. Statist. Assoc. 1952. V.47. – p. 583-621.

11. Kruskal W.H., Wallis W.A. Use of ranks in one-criterion variance analysis // J. Amer. Statist. Assoc. 1953. V.48. – p. 907-911.

12. Мардиа К., Земроч П. Таблицы F-распределений и распределений, связанных с ними. М.: Наука, 1984. - 255 с.

13. Lord E. The Use of the range in place of the standard deviation in the t-test // Biometrika. 1947. V. 34. – p. 41-67.

14. Dixon W.J. Processing data for outliers // Biometriks. 1953. V. 9. – p. 74-89.

15. Pullai K.C.S., Buenaventura A.R., Upper percentage points of a substitute F-ratio using ranges // Biometrika. 1961. V. 48. – p. 195-196.