2.9. Рекомендации по использованию асимптотически оптимального группирования в критериях согласия

Применяя критерии согласия типа c², можно по-разному разбивать область определения случайной величины на интервалы: равной длины, равных вероятностей или асимптотически оптимальные.

Использование асимптотически оптимальных интервалов обеспечивает максимальную мощность используемого критерия, снижает риск принятия неверной нулевой гипотезы H₀.

Если гипотеза H₀ справедлива или, наоборот, совершенно не соответствует характеру выборки, то выводы по критериям согласия при равновероятном, равноотстоящем и асимптотически оптимальном группировании обычно оказываются очень близкими по вычисляемому значению вероятности P{S>S^*}> a. И гипотезу H₀ при любом группировании однозначно принимают или однозначно отвергают.

Наличие в выборке малых отклонений от предположений (от гипотезы H₀) в случае равновероятного и равноотстоящего группирования оказывается незамеченным критерием, а в случае асимптотически оптимального группирования эти отклонения будут заметны, что в принципе снижает риск принятия неверной нулевой гипотезы H₀.

Применяя критерии согласия типа c², необязательно использовать только асимптотически оптимальное группирование наблюдений. Можно использовать и равновероятное группирование, и разбиение на интервалы равной длины. Но тогда следует помнить, что в этом случае критерии типа c² будут хуже различать близкие гипотезы (близкие альтернативы).

В приложении А приведены таблицы асимптотически оптимального группирования (АОГ) для ряда распределений. Представлены таблицы двух видов. В таблицах 1-го вида содержатся граничные точки, инвариантные относительно параметров распределения, в таблицах 2-го – вероятности попадания в соответствующие интервалы.

Порядок использования асимптотически оптимального группирования в связи с конкретным законом распределения определяется таблицей 3. В строках таблицы отражены функция плотности закона распределения, количество информации Фишера о соответствующем параметре по группированным и негруппированным данным, указаны номера таблиц в приложении А, в которых содержатся оптимальные для данной ситуации граничные точки в виде t_i= j(x_i,q), инвариантном относительно q, и соответствующие значения вероятностей P_i попадания наблюдений в i-й интервал.

Для тех законов распределения, для которых решение задачи асимптотически оптимального группирования нельзя получить в виде, инвариантном относительно параметров распределений, например для распределений типа Накагами, бета-, и таблицы асимптотически оптимального группирования отсутствуют, в соответствующих колонках таблицы 3 стоят прочерки (тире). В таких случаях для того, чтобы применить асимптотически оптимальное группирование, можно рекомендовать решение задач асимптотически оптимального группирования вида (18)-(19) в процессе проверки согласия при определенных значениях параметров, используя содержащиеся в таблице 3 выражения для элементов информационной матрицы Фишера по группированным данным.

Для законов распределения, определяемых одним параметром (экспоненциального, Парето, Рэлея и т.п.), одну и ту же пару таблиц асимптотически оптимального группирования (t_i и P_i) используют при проверке простых и сложных гипотез.

Для законов распределения, определяемых двумя параметрами, в случае сложной гипотезы и оценивании только одного параметра требуемая пара таблиц асимптотически оптимального группирования указана в строке для этого параметра. В случае сложной гипотезы и оценивании двух параметров или в случае простой гипотезы используют пару таблиц, указанных в строке с двумя параметрами. В колонках для количества информации Фишера по группированным и негруппированным данным в такой строке даны выражения для недиагональных элементов соответствующих информационных матриц J(q_i,q_j), а J(q_i,q_j)= J(q_j,q_i).

Например, при оценивании по выборке только параметра сдвига нормального закона следует использовать пару таблиц А.24–А.25, при оценивании только параметра масштаба – пару таблиц А.26–А.27, а при проверке простых гипотез и сложных гипотез, сопровождаемых оцениванием по данной выборке обоих параметров нормального закона, – пару таблиц А.28–А.29.

[Предыдущая][Содержание][Следующая]