См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

 

Доклады СО АН ВШ. Новосибирск, 2000. - № 2. - С. 53-61.

УДК 519.2

 

МАКСИМИЗАЦИЯ МОЩНОСТИ КРИТЕРИЕВ ТИПА [1]

 

Член-корреспондент СО АН ВШ Б.Ю. Лемешко,

Е.В. Чимитова

 

Рассмотрены причины, влияющие на мощность применяемых критериев согласия типа . Показано, что способность критериев различать близкие гипотезы можно повысить за счет оптимального выбора границ интервалов и числа интервалов.

 

При применении критериев согласия типа  неоднозначность при построении и вычислении статистик связана с выбором числа интервалов и тем, каким образом область определения случайной величины разбивается на интервалы. Такой произвол отражается на статистических свойствах применяемых критериев, в частности, на их мощности при различении близких конкурирующих гипотез. Очевидно, что выбор числа интервалов и способа разбиения на интервалы следует осуществлять с позиций обеспечения максимальной мощности применяемого критерия.

С использованием критериев согласия могут проверяться простые ги­потезы вида : , где  – функция распределения веро­ятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки неза­виси­мых одинаково распределенных величин , а  – известное значение параметра (скалярного или векторного), и сложные гипотезы : , где  – пространство параметров. В процессе про­верки сложной гипотезы оценка параметра  вычисляется по этой же самой выборке.

Процедура проверки гипотез о согласии с помощью критериев типа  предусматривает разбиение области определения случайной величины на  интервалов граничными точками

.

Статистика  Пирсона вычисляется в соответствии с соотношением

,                                              (1)

где  – количество наблюдений, попавших в -й интервал,  – вероятность попадания наблюдения в -й интервал, , . При справед­ливой простой гипотезе  пре­дельное распределение статис­тики  есть -распределение с числом сте­пеней свободы . Если по выборке оценивалось  параметров за­кона в результате мини­мизации ста­тистики , статистика подчиняется -распределению с  степенями свободы. При справедливой альтернативной гипотезе  пре­дельное рас­пределение  пред­ставляет собой нецентральное -распределение с тем же числом степеней свободы и параметром нецен­тральности

,                                                                (2)

где  и  соответствует альтернативе.

В случае проверки сложных гипотез и оценивании по выборке пара­метров наблю­даемого закона использо­вание в качестве пре­дельных -распре­делений справедливо лишь при опре­делении оценок минимизацией статистики  или при вычислении по сгруп­пи­рован­ным данным оценок максимального правдоподобия (ОМП).

Статистика типа  Никулина [1-4] отличается от  при сложных гипотезах. Предельное распределение этой статистики – обыч­ное распределение  (количество степеней свободы не зависит от числа оцениваемых параметров!). Неизвестные параметры распределения  в этом случае должны оцениваться по исходной точечной выборке методом максимального правдоподобия. Вектор вероятностей попадания в интервал  предпо­ла­га­ется заданным, и границы ин­тер­валов опре­деляются выраже­ниями , .

Данная статистика имеет вид [1]

,                             (3)

где  вычисляется в соответствии с (1). Элементы и размерность матрицы

определяются оцениваемыми компонен­тами вектора параметров ,  - эле­менты информационной матри­цы

,

 - элементы вектора , величины  определяются соотношением

.

При справедливости конкурирующей гипотезы статистика  имеет в качестве предельного  не­цен­тральное -рас­пределение с параметром нецентральности

,                             (4)

где элементы вектора  определяются соотношением .

Зависимость мощности от способа группирования. Целе­на­прав­лен­но воздействовать на мощность критериев типа  можно за счет двух факторов: выбора граничных точек и выбора числа интервалов.

     Способ группирования особенно сильное влияние оказывает на предельное распределение . В работах [5-9] показано, что критерии согласия  Пирсона и отношения правдоподобия при проверке как простых, так и сложных гипотез имеют максимальную мощность против близких альтернатив, если использовать такое разбиение области определения случайной величины на интервалы, при котором потери в информации Фишера о параметрах закона, соответствующего гипотезе , минимальны (асимптотически оптимальное группирование). Чем меньше потери в информации Фишера, связанные с группированием данных, тем больше параметр нецентральности, определяемый соотно­шением (2). В [5,9] для конкретных законов распределения представлен достаточно широкий состав построенных таблиц асимптотически оптимального группирования (АОГ-груп­пирования), минимизирующего потери в информации Фишера. При построении этих таблиц максимизировался определитель информационной матрицы Фишера по группированным наблюдениям, которая определяется соотношением

.

Использование АОГ-груп­пирования при заданном числе интервалов обеспечивает максимальную мощность при близких гипотезах.

Исследование распределений статистики  Никулина, которая отличается от  только при сложных гипотезах, показало, что как , так и  несу­щес­твенно зависят от способа группирования. Более того, наши исследования методами статистического моделирования показали, что с позиций наибольшей мощности разбиение на интервалы равной вероятности (РВГ-группирование) оказывается наиболее предпочти­тельным. Подчеркнем, что критерий типа  Никулина мощнее, чем критерии  Пирсона и отношения правдоподобия.

Зависимость мощности от числа интервалов . Зная предельные распределения  и  статистики , для любого заданного уровня значимости  можно оценить мощность соответствующего критерия, рассматривая её как функцию от числа интервалов  при заданном объеме выборки . Исследование мощности критериев Пирсона и Никулина как функции от  и  проводилось аналитически и методами статистического моделирования. Причем результаты аналитических вычислений полностью подтверждаются оценками мощности, полученными на основании моделирования.

Величина мощности для критериев типа  может быть вычислена в соответствии с выражением [10]:

,  (5)

где  - параметр нецентральности, определяемый соотношениями (2) и (4),  представляет собой -процентную точку -распределения с  степенями свободы ( - заданная вероятность ошибки первого рода,  - вероятность ошибки второго рода). Все приводимые ниже функции мощности строились при уровне значимости .

На рис. 1 в зависимости от числа  равновероятных интервалов при различных  представлены функции мощности критерия  Пирсона при проверке простой гипотезы о согласии с экспоненциальным законом (:  при ; :  при ). На рис. 2 приведены аналогичные функции при исполь­зовании АОГ-группирования [5, 9]. И в том, и в другом случае с ростом  мощность падает, но в случае асимптотически оптимального группирования она выше, чем при равновероятном.

 

 

Рис. 1.                                                             Рис. 2.

 

На рис. 3 приведены функции мощности критерия  Пирсона в случае РВГ-группирования при проверке простой гипотезы о согласии с нормальным законом :  при ,  против : нормальный закон при , . На рис. 4 – аналогичные функции мощности в случае использования АОГ-группирования [5, 9].

 

 

Рис. 3.                                                             Рис. 4.

 

На рис. 5-8 приведены функции мощности критерия  Пирсона при проверке гипотез о согласии с распределением Вейбулла. На рис.5  представлены функции мощности критерия  Пирсона при проверке простой гипотезы о согласии с распределением Вейбулла при РВГ-группировании. Гипотеза : при , . В качестве альтернативы  рассматривается также распределение Вейбулла, но с параметрами , . На рис. 6 для этой же пары гипотез приведены функции мощности критерия для АОГ-группирования. На рис. 7 приведены функции мощности критерия  Пирсона при проверке сложной гипотезы о согласии с распределением Вейбулла при использовании РВГ-группирования и близкой альтернативе, соответствующей распределе­нию Накагами

:

при , , . Рис. 8 иллюстрирует функции мощности для той же пары гипотез для случая АОГ-группирования.

 

 

Рис. 5.                                                             Рис. 6.

 

 

Рис. 7.                                                             Рис. 8.

 

На рис. 9 представлены функции мощности критерия типа  Никулина при проверке сложной гипотезы о согласии с нормальным законом

: ,

когда в качестве альтернативы рассматривается близкий ему логисти­чес­кий закон

 

:

при значениях пара­мет­ров , . Отметим, что функции мощности критерия  Пирсона в данной ситуации являются строго убывающими по  функциями и принимают максимальное значение при минимально возможном значении числа интервалов .

Рис. 9.

 

Результаты расчета функций мощности по соотношению (5) контролировались статистическим моделированием функций мощности, при котором строились эмпирические функции распределений  и  для статистик  рассматриваемых критериев, и находились оценки мощности. Результаты моделирования оказались очень близкими к расчетным.

Заключение.

Анализ функций мощности для различных альтернатив при проверке простых и сложных гипотез показывает, что с увеличением числа интервалов мощность критериев типа  падает. Это соответствует и результатам работ [11,12]. Максимальная мощность кри­териев при заданном объеме выборки  чаще всего достигается или при минимальном числе интервалов, или при некотором оптимальном значении .

Максимизировать мощность критериев  Пирсона и отношения правдоподобия можно за счет оптимального выбора двух факторов: выбора АОГ-группирования в качестве способа разбиения области определения случайной величины и подбора оптимального числа интервалов  при заданном объеме выборки . Увеличение мощности критерия типа  Никулина возможно только за счет выбора оптимального числа интервалов.

Оптимальное число интервалов  зависит от объема выборки  и от конкретной пары конкурирующих гипотез  и . Чаще всего оптимальное  оказывается сущес­твенно меньше значений, рекомендуемых различными регламенти­рующи­ми документами и задаваемых множеством эмпирических формул, широкий перечень которых приводится, например, в [13].

Рассматривая пару альтернатив, всегда можно выбрать оптимальное число интервалов и подобрать оптимальное разбиение на интервалы. В результате будет получен критерий максимальной мощности, наилучшим образом различающий данные конку­риру­ющие гипотезы.

В случае проверки простых гипотез при оптимальном выборе числа интервалов и асимптотически оптимальном группировании, минимизирующем потери в информации Фишера, критерии типа  мощнее непараметрических критериев типа Колмогорова и типа  и  Мизеса. А при проверке сложных гипотез в тех же условиях они лишь не многим уступают последним.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1] Никулин М.С. // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. № 3. – С.675-676.

[2] Никулин М.С. // Теория вероятностей и ее приме­нение. 1973. Т. XVIII. № 3. – С.583-591.

[3] Мирвалиев М., Никулин М.С. // За­водская лаборатория. 1992. Т. 58. № 3. – С.52-58.

[4] Aguirre N., Nikulin M. // Kybernetika. 1994. V. 30. № 3. – P.214-222.

[5] Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное груп­пи­рование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 1993. – 346 с.

[6] Лемешко Б.Ю. // Надеж­ность и контроль качества. – 1997. – № 8. – С. 3-14.

[7] Лемешко Б.Ю. // Заводская лаборатория, 1998. Т. 64. – №1. – С.56-64.

[8] Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. – № 5. – С.56-63.

[9] Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Прикладная статис­тика. Правила проверки согласия опытного распределения с тео­рети­ческим. Мето­­дические реко­мен­дации. Часть I. Критерии типа  . – Новоси­бирск: Изд-во НГТУ, 1998. –126 с.

[10] Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

[11] Чибисов Д.М., Гванцеладзе Л.Г. // III советско-японский симпозиум по теории вероятностей. Ташкент: изд-во “Фан”, 1975. – С. 183-185.

[12] Боровков А.А. // Теория вероятностей и ее применение. 1977. Т. XXII. № 2. – С.375-378.

[13] Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов из­ме­рений. - Л.: Энергоатомиздат, 1991. - 303 с.


[1] Работа выполнена при  финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00-01-00913)

 

[Содержание]