Сложная проверяемая гипотеза имеет вид H₀: F(x)О{F(x,q), qОQ}, где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, Q – множество возможных значений параметра q (скалярного или векторного).

При проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оцениваются параметры наблюдаемого закона распределения вероятностей, непараметрические критерии согласия типа Колмогорова, Смирнова, w² и W² Мизеса теряют свойство “свободы от распределения”. В этом случае предельные распределения статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик G(S|H₀) непараметрических критериев согласия зависят от целого ряда факторов, определяющих “сложность” гипотезы. На распределение G(S|H₀) влияют: вид наблюдаемого закона распределения F(x,q), соответствующего истинной гипотезе H₀; тип оцениваемого параметра и количество оцениваемых параметров; в некоторых ситуациях конкретное значение параметра (например, в случае гамма-распределения); используемый метод оценивания параметров.

При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют в соответствии с пп. 1-7.

1. Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение F(x,q) случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить. Перечень теоретических распределений, для которых возможна проверка сложных гипотез с использованием данных рекомендаций, приведен в таблице .
2. Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x₁ Ј x₂ Ј … Ј x_n.

3. По выборке вычисляют оценки параметров распределения F(x,q), выбранного в п.1 [оценки максимального правдоподобия или MD-оценки, минимизирующие статистику критерия].
4. В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия [статистику Колмогорова, Смирнова, w² Мизеса или W² Мизеса].
5. В соответствии с выбранным критерием проверки, теоретическим распределением F(x,q), оцененным параметром или параметрами, используемым методом оценивания определяют распределение статистики критерия G(S|H₀) при справедливости гипотезы H₀.
6. На основании выбранного в п. 5 распределения G(S|H₀) вычисляют значение



где G(S|H₀) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H₀.

7. Если P{S>S*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H₀ отвергается. Можно вычисленное значение статистики S* сравнить с критическим значением S_a , определяемым из условия