2.3 Непараметрические критерии согласия при сложных гипотезах

2.3.1 Потеря критериями свойства “свободы от распределения”

         При проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оцени­вают параметры наблюдаемого закона распределения вероятностей, непарамет­рические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, w2 и W2 Мизеса теряют свойство “свободы от распределения”. В этом случае предельные распределе­ния статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует также учитывать, что распределения статистик существенно зависят от объема выборки.

         Игнорирование того, что проверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят к некорректному применению непараметриче­ских критериев согласия в приложениях и как следствие к неверным статисти­ческим выводам. Различия в предельных распределениях тех же самых стати­стик при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо [5]-[7].

Точкой отсчета, с которой были начаты исследования предельных рас­пределений статистик непараметрических критериев согласия при сложных ги­потезах, послужила работа [8].

Существует ряд подходов к использованию непараметрических крите­риев согласия в этом случае.

         При достаточно большой выборке ее можно разбить на две части и по од­ной из них оценивать параметры, а по другой проверять согласие. В случае больших объемов выборки такой подход оправдан [9]. Но если объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две части будет отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистик критериев согласия.

         Для случая принадлежности выборки нормальному закону предельные распределения статистики критерия w2 Мизеса при использовании оценок мак­симального правдоподобия для оценивания одного или обоих параметров за­кона были исследованы в [10] аналитическими методами.

         В некоторых частных случаях проверки сложных гипотез, например при оценивании параметров распределений экспоненциального, нормального, экс­тремальных значений, Вейбулла и некоторых других законов, таблицы про­центных точек для предельных распределений статистик непарамет­рических критериев были получены с использованием методов статистического модели­рования [11]-[14].

         В [15]-[19] для статистик типа Колмогорова-Смирнова и некоторых зако­нов, соответствующих гипотезе H0, получены формулы для при­бли­жен­ного вычисления вероятностей “согласия” вида P{S>S*}, где S* - вычис­ленное по выборке значение соответствующей статистики S. Полученные формулы дают достаточно хорошие приближения при малых значениях соответствующих ве­роятностей.

         В [20]-[21] в результате компьютерного моделирования распределений статистик непараметрических критериев для ряда законов, соответствующих гипотезе H0, найдены аналитически простые модели, которые хорошо аппрок­симируют предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложных гипотез и оценивания по выборке пара­метров методом максимального правдоподобия. В [22]-[23] методами статисти­ческого моделирования исследовано влияние на распределения статистик непа­раметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах объема наблюдаемой выборки и применяемого метода оценивания параметров. В [24] получены аналитически простые модели предельных распределений статистик непараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотез оценки параметров находятся в результате минимизации статистики исполь­зуемого критерия.

Построенные на настоящий момент таблицы процентных точек и пре­дельные распределения статистик непараметрических критериев ограни­чены относительно узким кругом сложных гипотез. Предельные распределения ста­тистик (или процентные точки распределений) при проверке сложных гипотез получены лишь для порядка 15 законов, в то время как множество вероятност­ных моделей, используемых в приложениях для описания реальных случайных величин, существенно шире.

 

[Предыдущая][Содержание][Следующая]